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342
BE
ひ)を通る
線Cの接線が3本存在するための u, vの満たすべき条件を求めよ。また、そ
条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。
演習 例題2243本の接線が引けるための条件 (2)
|f(x)=x-x とし, 関数y=f(x) のグラフを曲線Cとする。点(u,
指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。
① 曲線C上の点 (t, f(t)) における接線の方程式を求める。
(②21で求めた接線が, 点 (u, v) を通ることから,t の3次方程式を導く。
[③3] [②2] の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を,u, の式で表す。....
g(0)g(u) < 0 から
(u+v)(-u³+u+v) <0
②2
②でu=0 とすると<0 となり,これを満たす実数は存在
しない。ゆえに,条件u≠0は②に含まれるから, 求める条件
は ② である。
u+v>0
②から
よって
.......
-u³+u+v<0
u+v<0
\u³+u+v>0
ゆえに,点(u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件s-#
は,t の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。
よって,g(t)=2t3-3ut'+u+cとすると, g(t) は極値をもち,
極大値と極小値が異符号となる。
g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるから
u=0 かつg(0)g(x)<0
v>-u
\v<u³_u
または
<-u
または
\v>u³_u0
したがって,点(u, v) の存在範囲は
右の図の斜線部分。境界線を含まない。
解答
f'(x)=3x2-1であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t))
とすると,接線の方程式は y-(t³-t)=(3t²-1)(x−t)
DROLON
y=(3t²-1)x-2t3
すなわち
この接線が点 (u, v) を通るとすると+v=(3t2-1) u-2t3
よって
2t3-3ut2+u+v=0
①
3次関数のグラフでは, 接点が異なれば接線も異なる前ページの検討参照 [1] 2c
x≥0
にな
①を
した
これ
[2] 2
f'(x
V
√√30
3
2√3
9
基本 219,演習20
DACO
2√3
√3
3
_y_f(t)=f'(t) (x-t)
p.337 の例題 219 参照。
CLONEENHOU
g' (t)=0 とすると
t=0, u
u=0のとき、 t=0,uの
うち一方で極大、他方で
小となる。
v=uuのとき
v=3u²-1
v=0 とすると
√3
3
=
u=±
√3 のとき
3
u=±
2√3
9
(複号同順)
直線では線 CO
原点Oにおける接線。
⑤ 224 曲線 Cの接線が3本存在するためのu, v
練習 f(x)=-x 3 +3x とし, 関数 y=f(x)のグラフを曲線Cとする｡ 点 (u,
の条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図
演習
ひの満たすべき条件を求めよ。
αは定
にαの
また
指針▷f
い)を運
解答
f(x)=x
と
1
0
7
f'(x)=
求める
① [3]
①を
よっ
ゆよこい
XM
表
これ
[1]~
練習
