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基礎問
精講
今目で
135 場合の数と漸化式
(1)5段の階段があり、1回に1段または2段
登るとする。このとき,登り方は何通りある
か。ただし、スタート地点は0段目とよぶこ
とにする. (右図参照)
(2)(1)と同じようにn段の階段を登る方法が の画
an通りあるとする.このとき
(ア) α1, a2 を求めよ.
n≧1 のとき, an+2 を an+1, an で表せ
(ウ) αg を求めよ。
211
(イ) 1回の登り方に着目して(n+2) 段の階段を登る方法を考えると次
の2つの場合がある。
① 最初に1段登って, 残り (n+1) 段登る
② 最初に2段登って、残り段登る
①,②は排反で, (n+1) 段登る方法, n段登る方法はそれぞれ
an+1
通り, an通りあるので,
an+2=an+1+an
an+2=an+1+an
(ウ)(イ)より,
い
as=a+α6=(a6+αs)+α6
=2a+αs=2(as+α)+as
=3a5+2a=3(a+α3)+2as
=5a+3a3=5(as+az)+3as
=8a3+5a2=8(az+ai)+5az
(1) まず, 1段, 2段, 2段と登る方法と2段, 1段, 2段と登る
方法は、異なる登り方であることをわかることが基本です。次に,
ると=1段を使う方法は5が奇数であることから1回,3回, 5回のどれかです.
わらないかんそこで, 1と2をいくつか使って,和が5になる組合せを考えて,そのあと
入れかえを考えればよいことになります。
(2)(イ)これがこの135 のメインテーマで, 漸化式の有効な利用例です。考え
方は、ポイントに書いてあるどちらかになります. この問題では,どちらで
も漸化式が作れます。
(ウ)漸化式が与えられたとき, 一般項を求められることは大切ですが、漸化
式の使い方の基本は番号を下げることです。
解答
(1)5段の階段を登るとき, 1段登ることは奇数回必要だから,
1段を1回使う組合せは, 1段, 2段2段
参考
=13a2+8a=13×2+8×1=34 (通り)
IA 91
ポイント
I. (ウ)の要領でas を求めると, α5=3a2+2a=3×2+2=8
(通り)となり, 1) の答と一致します。
Ⅱ. 最後の手段に着目するときは,次の2つの場合となります。
① まず(n + 1) 段登って, 最後に1段登る
②まず段登って、 最後に2段登る
ポイント
場合の数の問題で漸化式を作るとき、次のどちらか
① 最初の手段で場合分け ② 最後の手段で場合分け
3回使う組合せは,1段, 1段, 1段, 2段
演習問題 135
3+4+1=8 (通り)
(2)1段登る方法は1つしかないので, a=1
5回使う組合せは,1段, 1段, 1段, 1段,1段で
それぞれ,入れかえが3通り,4通り、1通りあるので
横1列に並べられたn枚のカードに赤か青か黄のどれか1つの
色をぬる. 赤が連続してはいけないという条件の下で、ぬり方が
an通りあるとする.
(1) a1, a2 を求めよ.
2段登る方法は,1段,1段と2段の2通りあるので,a=2
(2)
an+2 を an+1, an で表せ .
n≧1のとき,
(3)
α8 を求めよ.
