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座標を利用した証明 (2)
基本 例題 85
△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
指針p.117 基本例題 72 と同じように, 計算がらくになる工夫をする。
座標の工夫
!
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分数が
現れないように、CCC20,0)と設定する。
なお,本問は三角形の外心の存在の, 座標を利用した証明にあたる。
① 座標に 0 を多く含む [2] 対称に点をとる
LAを最大角としても一般性を失わな
い。このとき, ∠B <90° ∠ C <90°
である。
直線BCを軸に、辺BCの垂直二等
分線を軸にとり △ABC の頂点の
を次のようにおく。
A(2a, 26), B(-2c, 0), C(2c, 0)
a+c
=_a-cx-
b
x+
B.
-2c
a²+6²-c²
b
N
y4
ただし a≧0,60,c>0
また,∠B<90°,∠C<90°から, a≠c, a≠-c である。
更に、辺BC, CA,ABの中点をそれぞれL,M,N とする
L(0, 0), M(a+c, b), N(a-c, b)
と、
と表される。
辺ABの垂直二等分線の傾きをとすると, 直線 AB の傾き
b
-=-1より m=-
a+c
a+c
b
atc
であるから,mo
b
よって, 辺ABの垂直二等分線の方程式は
a+c (x−a+c)
y-b=--
b
A(2a, 2b)
a²+6²-c²
①
すなわち
y=-
-x+
b.
辺ACの垂直二等分線の方程式は、①でcの代わりに -c と
おいて
であるから K (0,
K
OL
M
C
2cx
直線 ① ② の交点を K とすると, ①,②のy切片はともに
K(0, a² + b²-c²
a²+ b²-c²
b
点Kは,y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
基本72
注意 間違った座標設定
例えば, A(0, 6), B(c, 0),
C-c, 0) では,△ABCは
二等辺三角形で、特別な三角
形しか表さない。
座標を設定するときは, 一般
性を失わないようにしなけ
ればならない。
0-26
-2c-2a
133
2倍しておく
証明に直線の方程式を使用
するから 分母 = 0 となら
ないように,この条件を記
している。
b
atc
3章
13
3 直線の方程式、2直線の関係
点N (a-c, b) を通り,傾
a+c
の直線｡
b
辺ACの垂直二等分線は,
b
傾き
の直線 AC に
a-c
垂直で,点M(a+c, b) を
通るから ① でcの代わ
りに -c とおくと,その方
程式が得られる。
