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基本例題 68 対数微分法
次の関数を微分せよ。
(x+2)4
(1)
Vx2(x2+1)
=
解答
3
指針
(1) 右辺を指数の形で表し,y=(x+2) 138x-12 (x+1) として微分することもできるが
計算が大変。 このような複雑な積・商・累乗の形の関数の微分では,まず,両辺(の絶
対値) の自然対数をとってから微分するとよい。
P
→ 積は和, 商は差 乗はか倍となり、 微分の計算がらくになる。
(2) (x)'=nxn-1 や (ax)' =α*loga を思い出して,y'=xxx-1=xxまたは
y=x*log x とするのは誤り! (1) と同様に,まず両辺の自然対数をとる。
CHART 累乗の積と商で表された関数の微分 両辺の対数をとって微分する
1 (1) 両辺の絶対値の自然対数をとって
log|y|=÷{4log|x+2|-2log|x|-log(x2+1)}
両辺をxで微分して = 1/12(142-12/2
y'
y 3\x+2
よって
y' =
3
[(2) 岡山理科大]
NTTI
(2)y=x* (x>0)1/21) 基本67
●
1 -2(4x²-x+2)
(x+2)4
3 (x+2)x(x2+1) x2(x2+1)
3
XC
4x(x2+1)-2(x+2)(x2+1)-2x2(x+2)
(x+2)x(x2+1)
y
2x
x2+1
2 (4x²-x+2)
x+2
3x(x²+1) √ x²(x²+1)
(2) x>0 であるから,y>0である。
両辺の自然対数をとって logy=xlogx
y=1・10gx+x..
両辺をxで微分して
よって
y'=(logx+1)y=(logx+1)x*
•y
|x+2|
x2(x2+1)
dx
<lvl = 3
として両辺の自然対数をと
る (対数の真数は正)。
なお、 常に x2 +1> 0
対数の性質
10ga MN=10gaM+loga N
loga =loga M-loga N
M
N
loga M-kloga M
(a>0, a+1, M>0, N>0)
両辺>0を確認。
logyをxで微分すると
(logy)'=
y
'V'
対数微分法
検討
上の例題のように,両辺の対数をとり,対数の性質を利用して微分する方法を 対数微分法
という。また,10g|y | は次のようにxで微分している。
log|yのyはxの関数であるから (10g|yl)´=
calog|yl=colog!|yl.2-1dy_y
dx
y dx
y
1
