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重要例題 197 関数の極限値(2) ･･･ 係数決定・微分係数利用
=3を満たす定数a, b の値を求めよ。
x+ax+b
X 等式 lim
x-1
x→1
*
f(a-3h)-f(a)
lim
をf'(α) を用いて表せ。
h→0
h
指針 (1)x1のとき, 分母x-10であるから,極限値が
存在するためには,分子 x+ax+b→0でなければなら
ない (数学Ⅲの内容)。 一般に
lim f(x)
x-c
g(x)
=αかつlimg(x) = 0 なら limf(x)=0
xc
XIC
まず, 分子 → 0 から, aとbの関係式を導く。
次に,極限値を計算して, それが=3となる条件から
(2)微分係数の定義のf(a)=limf(a+h)-f(a)
h-0
h
する。
00000
基本
次の関数
=1
(3) y=
k
(0)
極限値存在せず
必要条件
α,
bの値を求める。
が使えるように、式を変化
(1) lim(x-1)= 0 であるから
x→1
(th)
解答
ゆえに
1+α+6=0
よって
b=-α-1
......
①
(S)
x2+ax+b
x2+ax-a-1
lim(x2+ax+b)=0
x→1
必要条件。
注意 必要条件である
b=-a-1
このとき
lim
=lim-
x→1
x-1
x→1
x-1
(x-1)(x+α+1)
x-1
=lim(x+a+1)
【チェ) mil成り立つような a,bの個
を代入して (極限値)=3か
を求めているから
x→1
解答
=lim
x→1
a
=a+2
a=1,b=-2
は必要十分条件である。
韓国) α+2=3から
a=1
①から
b=-2
* (2)→0のとき, -3h0であるから
I-X
f(a+ロ)-f(a)
lim
h→0
f(a-3h)-f(a)
lim-
f(a+(-3h))-f(a)
-=lim
h→0
h
h→0
-3h
=f'(a)·(-3)
I+
=-3f'(a)
別解 -3h=t とおくと, h0 のとき 0 であるから
(与式)=lim
f(att)-f(a)
t-0
t=lim
f(att)-f(a)
-
t-0
t
(-3)
3
=-3f'(a)
=(xxmil
=f'(a)
□は同じ式で,
m
0のときロー
□の部分を同じものにす
るために,
形をしている。 → 10
とき3h0 だからといっ
(与式)=f(a)として
は誤り
!
のような
M
