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重要
例題
28 S2m, S2m-1 に分けて和を求める
n
一般項がαn=(-1)+1n2 で与えられる数列 {an} に対して, Sn=ak とする。
(1) a2k-1+a2k (k= 1, 2, 3, ......) をんを用いて表せ
(2) S= (n=1, 2, 3, ...) と表される。
指針
k=1
(2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。
次のように項を2つずつ区切ってみると
Sn=(12-22)+(32-42)+(52-62)+......
=b2
=b1
=b3
上のように数列{bm} を定めると,b=akは自然数)である。よって,m
を自然数とすると
[1]nが偶数,すなわちn=2mのときはS2m=bx=(az-1+aan)として求め
られる。
[2]nが奇数,すなわちn=2m-1のときは,S=S2-1+αm より
S2m-1=S2m-a2mであるから, [1] の結果を利用して S2-1 が求められる。
このように、nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める
a2k-1+αzk=(-1)2k(2k-1)^+(-1)2k+1(2k)2
=(2k-1)-(2k)=1-4k
(−1)偶数=1, (−1)奇数=-1
={(2k-1)+2k}
CUSTO×{(2k-1)-2k}
Sm=(a1+a2)
+(as+as)+......
+(a2m-1+azm)
451
1
3種々の数列
[1]=2mmは自然数)のとき
=
m
m
S2m (a2k-1+a2k) = (1-4k)
n
m=
2
k=1
k=1
=m-4.1/23mm+1)=-2m-m
-であるから
S.=-2(2)-=-n(n+1)
[2]=2m-1(mは自然数)のとき
azm=(-1)2m+1(2m)=-4m² であるから
S2m-1=Szmazm=-2m²-m+4m²=2m²-m
n+1 であるから
m=
2
S₁=2(n+1)² - n+1 = (n+
1
(n+1){(n+1)-1}
2
2
Sm=-2m²-mに
m=
=2を代入して,n
の式に直す。
S2m=S2m-1+a2m
を利用する。
Szm-1=2m²-mをnの
式に直す。
=1/12m(n+1)
[1],[2] から
Sn=
(-1)"+1
-n(n+1)
(*)
(*) [1] [2] のS” の式は
符号が異なるだけだから,
(*)のようにまとめるこ
とができる。
