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の試行をn回繰り返した後, 箱Aに赤玉が1個, 白玉が3個入っている確率
(一橋大)
精講
した場合分けになっているか注意します。
ると樹形図では枝が多くなり, すべてを書くこと
は困難になります。
このようなときは漸化式を立てることを考えま
す. n回からn+1回への状況変化において,
排反でかつすべてを網羅
状況の変化を示す手段として樹形図解法のプロセス
回からn+1回への状況変化
がありますが、試行の回数が多くな
318
標問 143 2 項間漸化式の応用
箱A, 箱Bのそれぞれに赤玉が1個, 白玉が3個, 合計4個ずつ入って
る。1回の試行で箱Aの玉1個と箱Bの玉1個を無作為に選び交換する
Dm を求めよ.
319
(i) (赤玉0個, 白玉4個) から (赤玉1個, 白玉3個) となるのは, 箱 A, B か
それぞれ白玉, 赤玉を選び交換するときであり,この確率は
1.2=1/
1 (赤玉2個, 白玉2個)から(赤玉1個, 白玉3個)となるのは,箱 A, B か
らそれぞれ赤玉, 白玉を選び交換するときであり,この確率は
2.1-1/
これらは排反であるから
( )
5
↓
8
fr)
2
排反でかつすべてを網羅する場
合分け
5
Dn+ 1½ (1-Dn) (
(D)
..
Pn+1=-
漸化式の利用
2
確率の総和=1 を使うことも
ある
この漸化式は Poti-12-12(4) 変形 on bot 1/2 より on f
本間の場合, n回目からn+1回目の試行にお
いて, 箱Aに赤玉が1個, 白玉が3個となる変化
され, po=1であることから
pn
Pn― 14½ = (1-1) (±3)*
の様子を図示すると次のようになります。
第8章
〃 回後
赤 0
+1回後
白4
赤 1
白3
赤1
白3
赤2
白2
解答
試行を回繰り返した後の箱Aに入っている玉は (赤玉1個, 白玉3個), (赤玉
0個, 白玉4個), (赤玉2個, 白玉2個) の3通りがある. それぞれの状態である
確率を Pr, Q, m とおく.
1回の試行で箱に入っている玉が
赤玉1個, 白玉3個) か玉1個、白玉3個)となるのは,A,Bか
同色の玉,すなわち「赤,赤」 または 「白, 白」を選び交換するときであ
この確率は
1.1 +3.3
=
4 4 4 4
5-8
演習問題
Pn
143-1 平面の上に正四面体がある. 平面と接している面の3辺の1つを任意に
選び,これを軸として正四面体をたおす。 この操作をn回続けて行ったとき,
最初に平面と接していた面が再び平面と接する確率を とする.
(1) 1, 2, 3 を求めよ.
(2)
nを用いて表せ.
(琉球大)
個
○ ○
×
○ ×
○
143-2 図のように2×nのマス目に○または×印をつけ
る. その並び方をnの式で表すとア 通りである.
縦の並びを列と呼ぶ. 図ではn個の列がある. 少なくと
も1つの列に○が2つ並ぶ並び方がP通りであるとす
ると,P,
である.また,どの列も○が2つ並ばないのは
P2=ウ
(ア-Pm)通りだから, Ph+1 を Pnとnの式で表すとP+1=エであ
る。いま、○と×をそれぞれ 1/2/3の確率でつけるとすると,少なくとも1つの
列に○が2つ並ぶ確率は Qn=
PR
だから, Q+1 を Q の式で表すと,
ア
Q+1=オである. qn をnの式で表すとQn=カ である. (京都産業大)
