-
![]()
副題 247
連続する整数の積・ 余りによる場合分け(2)
.....
(1) が整数のとき,23²nは6の倍数であることを示せ。
(2)
解答
n と n +4 は一の位が一致するこ
を任意の自然数とするとき,
を示せ。
SVERRED
え方 (1) 連続する3つの整数の積は6の倍数である。
(2)2つの自然数の一の位の数字が一致する2つの自然数の差が10の倍数
(1) 2n+3n²+n=(2n+1)(n+1)n={(n-1)+(n+2)}n(n+1)
(2)
=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)
Focus
***
(n-1)n(n+1), n(n+1)(n+2) はともに連続する3つの整数の積である
から、その積は6の倍数である.
よって, 2n+3²+nは6の倍数である.
(2) N=n²+4-n² <2, N=n(n-1)=n(n-1)n(n+1)(n²+1)
in(n+1)は連続する2つの自然数の積であるから,整数Nは2の倍数であ
る。したが
· <[ +(AS+ªÅ£)E=1+0+0=(1+8)= 7
自然数nを5で割ったとき,余りは0,1,2,3,4のいずれかであるから,
自然数nは,5k, 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 (k は整数)のいずれかの形で
表せる.
4) + 1 $ (8 + x 8) = 1
=6(60+60+60°
ここで,5k+3=5(k+1)-2 より,5で割って3余る整数は5k-2として
よく,5k+4=5(+1)-1 より, 5で割って4余る整数は5k-1としてよい.
(i) n=5k のとき,整数Nは5の倍数
(ii)
+min=5k±2のとき,n2+1=(5k±2)2+1=5(5k²±4k+1) より,整数N
は5の倍数
1+
(i)~(i) より , すべての自然数nに対して, 整数Nは5の倍数である。入して、
したがって、整数Nは2の倍数かつ5の倍数であり,2と5は互いに素で
あるから Nは10の倍数である.
24365
よって、n+anは10の倍数より+4 一の位の数字は一致する.
224-643 21
12-80+
n+1=5k となり, 整数Nは5の倍数
n=5k±1のとき,
連続する3つの整数の積は6の倍数である
整数nを5つの型に分類
D
5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 (nは整数)と
または, 5k, 5k±1,5k±2 (nは整数)
