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76 sin0, cos0 の2次式の最大・最小
a, b, cは正の定数とする。 0
2
の範囲で定義された2つの関数
S(0)=(1-√3a)sin' 0 +2asincos0+ (1+√3a)cos'0g(0)=bsinc0+b について
(1) S(0) を a, sin20, cos20 を用いて表すと
S(0)
T
lasin 20+
+ ウ
イ
と変形できる。 よって,f(8) は
のとき最大値
A =
[エオ
(2) g (0) の最小値が0であるとき, cの値の範囲は cサである。
このとき,さらにS(0) g(8) の最大値と最小値がそれぞれ一致するならば
a+ キ 0= T
■ク
のとき最小値ケ
コαをとる。
b =
セ + ソ タ
a =
ス
チ
である。
解答
(1) f(0) 変形すると
Key 1
f(0)=(1-√3a)
1-cos20
2
+2a-
sin20
2
+(1+√3a)1+ cos20
Key 2
2
= asin20+√3acos20+1= a(sin20+√3 cos20) +1
=2asin(20+ /25) +1
f(8) = (sin'0+cos'0)
+a2sincos0
+3 a(cos20-sin³0)
と変形し 2倍角の公式
2sincos0 = sin20
cos' 0 -sin^0= cos20
を代入してもよい。
π
のとき
≤20+
3
13
4
S
より
√3
2
α > 0 より
≤ sin(20+) 1
-√3a+1≦2asin (20+4 +1 ≦ 2a+10
よって, f(8) は
1
02
π
π
20+
すなわち 0=
33
=
243
のとき最大値 24 +1
12
π
20+
(2)g(8)=0 のとき
60 より sinc0 = -1
0≧0 の範囲で sinc0 = -1 となる最小の8の値。 は
すなわち 0
のとき 最小値1-3a
2
D
bsinco = -b
3
c>0より, clo=
となり
3
8₁ =
2 となるから 12c
<10+(-1)=(
よって,OSTの範囲で g (8) の最小値が0 となるとき
c0 であるから,
3π
2c
より c≥ 3
2
f(8) g (0) の最大値と最小値がそれぞれ一致するとき
2α+1=26 かつ 1-√34=0
これを解いて a=
√3 3+2√3
b =
3
6
√3
3
三角関数
(
最大値は
(2)=6(sin+1)
+1 = 26
攻略のカギ!
Key 1 psin0 + gsincosd+rcos'0 は, sin 20, cos20 で表せ
sind と costの2次式 f(0) = psin'0+gsindcosd+rcos' の最大・最小は, 2倍角の公式から得られ
る下の3つの等式を利用して, f(0) を sin20 と cos20 の式で表してから、 合成して求める。
sin20
sincost=
2
sin² =
1-cos20
2
1+cos20
cos2 0 =
2
2 asin + bcos0 は,rsin (0+α)の形に合成せよ 35 (p.149)
