fiagrama
. p.83
入して
は4個の
と, 例えば
D.
D
る。
5
重要 例題 50 集合の包含関係 相等の証明
を整数全体の集合とするとき,次のことを証明せよ。
(1) A={4n+1|n∈Z},B={2n+1|n∈Z}であるとき ACB かつA≠B
(2)
A={5n+2|n∈Z},B={5n-3|n∈Z} であるとき A=B
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指針
(1) ACB を示すためには, A の要素がすべてBの要素であること,すなわち,
「x∈A ならばxEB」 を示せばよい。 また, A≠Bであることを示すためには, Bの
要素であるが A の要素ではないものを1つ挙げればよい。
(2) A=B を示すためには, 「ACB かつ BCA」 を示せばよい。そのために,
「 x∈A ならば x∈B」 と 「x∈B ならばx∈A」の両方を示す。
解答
(1) x∈A とすると, x=4n+1 (nは整数)と書くことが
できる。 このとき
2n=m とおくと,mは整数で
x=2m+1
xEB
x=2(2n)+1
A
X
ゆえに
よって, x∈A ならばx∈B
が成り立つから
ACB
また, 3EBであるが 3EA
したがって
A≠B
(2) x∈A とすると, x=5n+2 (nは整数)と書くことが
できる。このとき
x=5(n+1)-3
n+1=kとおくと, kは整数で
ゆえに
XEB
よって
B
x=5k-3
20
ならば∈B が成り立つから
p.80 基本事項 1
3
2章
15
集
が10とまでわ
合
xEB を示すために,
2×(整数)+1の形にす
る。
mはもEBを示すためのもの
「ひがしだったろろじゃん」ていう
のはACBを示す神
ために
ちがう
1B の要素であるが、Aのmとい
要素ではないものの存在た。
を示すことで, A≠BがM=1のとき
今はAを
示せる。
x=B を示すために、すときに変え
5×(整数) -3の形にす
30
る。 APBなんだから
