2π
2π
練習 60
a = Cos + isin
(nは2以上の整数) とするとき,
n
n
(1-2) (1-α) (1-α)... (1-α-1)=n
であることを示せ。
2π
n
2π
a = cos +isin の両辺をn乗すると
n
n
2
2
an = COS π+isin π r = cos2x+isin2π
= 1
n
n
よって
α-1=0
ドモアプルの定理を用
いる。
ここで, 方程式 2"-1=0···① を考えると, α キ1より, α は方程 n≧2 であるから
式 ① を満たす1以外の複素数の1つである。
α キ1
このとき (2)"-1= (a")-1=1-1=0
(ω°)"-1= (a")3-1=1-1=0
(an-1)"-1= (a")"-1-1=1"-1-1=0
d',',
よって, z=d, 3, ..., α-1 はいずれも方程式 ① を満たす。
① を変形すると (z-1)(zn-1 +2 -2 +... +2+z+ 1) = 0
ここで方程式 ① はn次方程式であるからn個の複素数解をもつ。
1, α, 2,..., α7-1 はすべて異なるから, 方程式 ① の解は
z=1,a,a2,
Qn-1
...,
よって, 方程式 2-1+2-2+・+2 +z + 1 = 0 の解は
z= α,a2, .・・, α7-1 であるから
2"-1+2"-2+･･･ + 2°+z +1=(z-a)(za)...(z-an-1)
この両辺に z=1 を代入することにより
この式はzについての恒
等式である。
(1-4) (1-α) (1-α°)... (1-α-1)
=1"-1 +1"-2 +･･･+1+1+1
=
=n
