<発展例題 24 ばね振り子の力学的エネルギー・
図のように、天井に固定された軽いばねに質量mのおも
りをつるしたところ, ばねが自然の長さから xだけ伸びた
点0で静止した。 おもりを下に引き, 点0からばねが αだ
け伸びた点Aで静かに放した。 重力加速度の大きさをg と
する。
(1) このばねのばね定数はいくらか。
(2) おもりが点Oを通過するときの速さはいくらか。
(3) おもりがする最高点の, 点 0 からの高さはいくらか。
「考え方 弾性力と重力による運動力学的エネルギーが保存される。E=K+U=一定
(1) ばね定数をんとすると, 点0 での力のつりあいから、
kxo-mg=0 よって,k=mg
...1
ICO
(2)点を重力による位置エネルギーの基準とする。 点0 でのお
もりの速さをひとすると,点Aと点0での力学的エネルギーは
等しいから,
解答
0+ (−mga) + ½ k (xo+a)² = 1/2 mv ² + 0 + 1 1/² kxo ²
2
k
①.②から1/12/2kd2=1/12/m2 よって,v=aym
-ka²=
-mv²
5. 仕事と力学的エネルギー 57
①③から
1/12/kd2=1/12/kx2 よって、x=4
-ka²:
…..②
=a^
(3) 最高点では速さは0になる。 最高点の点Oからの高さをxと
すると,点Aと最高点での力学的エネルギーは等しいから,
0+(-mga)+1/12/k(x+a)^2=0+mgx+2/12/2k
(x-x)2.③
g
XCo
000000000
自然の長さ
xo
0-
〒00000000OE
000000000
ma
(補足)
(3) 点0をおもりの変位
xの原点とし、鉛直上
向きを正の向きとする
このとき,自然の長さ
の位置はx=x である
0<x<xの場合:
ばねの伸びは x 一人
xx の場合:
ばねの縮みはx-x=
最高点の位置xカ
どちらの場合でも
弾性力による位置工
ネルギーは
k(x-xo)²
出重要
