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182 第5章 指数関数・対数関数
練習問題 8
(1) 次の方程式・不等式を解け.
(i) (2)2-6.2"+8=0
(i) 4-2+1-2³ 20
(2) 次の関数の最大値・最小値を求めよ.
精講
(1Xi) t=2" とおくと
t=α* と変数変換すると,これらの問題はtの2次方程式・不等
式または2次関数の問題に帰着させることができます.このとき
変数を変えれば, 変域も変わる
というおなじみの標語を思い出してください. には何の変域もついていませ
んがt=2" という変数変換をすることで, t には t> 0 という変域がつきま
す。
t> 0 ...... ①
与方程式は
y=x+1-6.3x+2 (-1≦x≦2)
t²-6t+8= 0
(t-2)(t-4)=0
(ii) 52-4.5+¹-125=0
(iv) (+)* - 3/1
9
(2)²-2-2²-820
t²-21-820
(t+2)(t-4)≧0
t≤-2, 4≤t
③より
すべてのに
対して 20
t=2,4
(これはともに①を満たす)
t=2 のとき 2F=2' より x=1
t=4 のとき 2F=2^2 より x=2
よって、x=12
(m) t=2^ とおくと, t>0 ...... ③
与不等式は
解答
--6<0
3.2
t24 2²2²
底2は1より大きいので, x≧2
(ii) t=5^² とおくと t>0 ...... ②
与方程式は,
[ 5+1 = 5F •
5'
(5)2-4-5-5-125=0
t2-20t-125=0
(t+5)(t-25)=0
②より
t=-5.25
AT=22x=(2F) 2
4
tit=21
1
0
t=25
5=52
x=2
負の解は不適となる
2 x
== (13)
(iv) t=
与不等式は
( ( ² ) ² − ( 3 ) * - 6 -
t²-t-6<0
(t+2) (t-3)<0
2<t <3
④より
とおくと,t>0 ...... ④
底
0<t<3
t>0は常に成り立つので, t<3 について解くと
(13) (14) 3-(4)
x>-1
は1より小さいので
(G)-(G)-(GT)
(2) t=3 とおくと
をとる.
不等号の向きが反転する
-1≦x≦2において
y=9.9-6・3・32
=9(3) 2-543
= 9t2-54t
3-1 34 32 変域が
変わる
≤t≤9-
t=3²
1
3
この変域において, y=9(t-3)2-81 は
t=9 (すなわち x=2) のとき最大値 243
t=3 (すなわち x=1) のとき最小値-81
9
tの変域
11/13
2
の変域
\-(-3)
13
183
- 10
9
X
-243
-81
第5章
