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ヨチェク
①8/130
to 212
12 軌跡 / パラメータを消去
座標平面上に直線1:y=mz-4mと放物線y=1がある.mは,IとCが異なる2点P,
Qで交わるような値をとるとする.また, 線分 PQ の中点をMとする.
(1) 1はmの値にかかわりなく、 ある定点を通る。 この点の座標を求めよ。
(2) m のとりうる値の範囲を求めよ.
(3) Mの軌跡を求め, 座標平面上にそれを図示せよ。
(南山大 外国語, 法)
軌跡の素朴な求め方 動点の軌跡の素朴な求め方は,動点M(X, Y) を原動力 (本間ではm, 以下
パラメータと呼ぶ) で表して, それがどんな図形であるかをとらえる方法である。 直接読み取れること
もあるが、一般的には,パラメータによらないXとYの関係式 (パラメータを消去した式) を作ること
で、 軌跡の方程式を求めることになる。 なお、 実際にはXとYの関係式を作るとき、必ずしもX,Yを
パラメータだけで表した式を用意する必要はない. 本間の場合 「Mが上」 に着目するのがうまい。
「軌跡」 と 「軌跡の方程式」 問題が「軌跡を求めよ」という要求なら, 軌跡の限界 (範囲: 不等式)
を考慮しなければならないが,「軌跡の方程式を求めよ」 という要求ならば、その必要はなく、単に方程
式 (等式)を求めるだけでよい,というのが慣習である。
本間 (3) の場合 Mのx座標は,解と係数の関係を使う. y座標は1の式から (2) にも注意.
解答量
(1) 直線/は,y=mx-4m
①の右辺をmについて整理して,y=m(x-4)
これは定点 (40) を通る.
(2) y=1/2と①を連立して得られる方程式
・①
M
C
1なければ主と
依存して
パラメータでおし
1
r²-mx+4m=0·
・②
4 x
4
a
XOB
が異なる2つの実数解を持つ. 判別式をDとすると,
D=m²-4m>0
m <0 または4<m
(3) P,Qの座標をα βとし, M(X, Y) とおくと, X=-
a+B
2)
･･･③ これから軌跡の限界が出てくる.
PQの座標をm で表す必要はな
い。 このようなときは具体化を
急がず、とりあえず文字でおく
α, βは②の2解であるから,解と係数の関係により, a+β=4m
よって、X=2m
であり,Mは①上にあるから,Y=mX-4m⑤⑤ではなく、
=1/2で、⑤に代入しY=1/2x2-2x
④よりm=
③ ④ により,X < 0 または 8 < X
X,Yをx, y に書き換え, 求める M の軌跡は
1
y= x²-
ーー2x (x<0または8<x)
であり, 右図太線である (○を除く)。
16
y=x²-2xy=-
04
8
x
1/2 B2
4
(a+8)2-2aß
JA8
=2m²-4m
と ④ から Y を X で表しても大し
たことはないが (本間の場合),
⑤ (直線上にあること)に着目す
るのがうまい人、
12 演習題(解答は p.104)
円 (x-2)2+y2=1と直線y=mz が異なる2点P Qで交っているとき,
(1) m の値の範囲を求めよ.
(2) 線分 PQ の中点Mが描く軌跡を求め, それを図示せよ (軌跡に端点がある場合は
今の座標を明示せよ ).
(群馬大・理工, 情/改題)
Mが直線上にあること
をうまく使う なお、図
形的に解くこともでき
る.
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