下線部の三角関数の公式が何なのか分かりません。教えてください。

4 いろいろな媒介変数表示 DA (x-a)²+(y−b)²=r² (r>0) x2 ② 楕円/3+1/28=1 ③ 双曲線 3 出る J² 2012/28=1 a² 62 サイクロイド (円の半径がα) 解説 ①円 中心 (α, b) が原点にくるように平行移動すると ゆえに x=rcosey=rsin0 FR6 これを, x軸方向に α, y 軸方向にだけ平行移動して x=a+rcos 0, y=b+rsin ②楕円,③ 双曲線 基本事項②の媒介変数表示x=acosl, y=bsin0 において, tant とする Də と, 三角関数の公式 cos0= 1-t² 2t sin0= 33 1+12, から,②が導かれる。 1+t2 同様にして, t≠±1 のとき tan0 2t = から,③ が導かれる。 1-2 x=a+rcos0, y = 6+rsin O 26t x=a(1-1²) y= 9 1+t2 1+t2 2bt x= a(1+t²) y=1-t² 1-t², 9 x=a(0-sin0), y=a(1-cos 0) x2+y2=r2

双曲線の媒介変数表示がどうしてこうなるの教えてください。

2 双曲線 - x² 1² a² 62- -=1 1² =1 # 6² C434103 Q P(x, y) 10 acose a x + x² a² 2 YA btane a a x= Cos 0 y=btan 0 2 =1 2 6² P(x, y) Sa -a D)] (1+S T a ZA² N a cose X

波線のところは、どのように変形されてますか？教えてください。

練習 163 実数x,yがx2+y2 = 9 を満たすとき, 3x² +2√3xy-3y2 の最大値と最小値を求めよ。 AY 3 (3cose, 3sin) 実数x, y は x2+y2 = 9 を満たすから x = 3 cos0, y = 3sin0 (0 ≤ 0 < 2π) とおける。 よって 3 3x²+2√3 xy-3y² O 13 X STAR = 3.9cos²0+2√3 3 cos 3sin0-3.9sin²0 = 27 cos²0+9√3 2 cosesin0-27 sin²0 = 27 cos 20+9√ 3 sin 20 cos²0-sin²0 = cos20 12 cosesin0 = sin20 = 9(√3 sin20 +3cos20) 1 √3 = = 9.2√ 3 sin 20. + cos20. 2 = = 18√ 3 sin(20+ sin(20 5) 3 ここで,0≦02 より -1 ≤ sin (20+) ≤1 - 18/3 ≤ 18√/3 sin(20+) ≤ 18√3 最大値 183, 最小値-18√3 したがって OSMA + (0600+0205) Saub Cabo Site:+S20062209 200% Unles)Wa 2.0 2058 I sin (20+1)=-1のとき 19 0 17/127² π, T 12' sin(20+) =1のとき 13 8-12 12- 0 = T 12' -

数三の式と曲線です Y≠0は要らないんですか？

楕円+ 9 ただし,点(-1, 0) を除く。 1 ***** 113 x2y2=1 2 ****** y=x+t ②を①に代入すると x² - (x+t) ² =1 すなわち 2tx=-(t2+1) ****** 3 t=0 は ③ を満たさないから 1≠0 12+1 ③ より X= 2t 1² +1 このとき y=x+t=- 2t よって, 求める媒介変数表示は 12+1 12-1 y= 2t 2t 114 (1) 直線ℓ +1 t²-1 2t

写真2枚目の⑵の解説4行目で④ではなく④の下のy=~の式に⑥を代入してはいけないのは何故ですか？ 実際に代入して解いてみたのですが、上手くいきませんでした‪💧‬何故上手く計算できないのですか？

62* 原点を通る傾きtの直線が、 2直線 x+y-2=0,x-y-2=0 と交わる点を それぞれP, Q とし,線分PQの中点をMとする。 (1) 点 M の座標を媒介変数t で表せ。 (2) 点Mの軌跡を求めよ。

この問題教えてください🙏

5.2点 A(1, 1, 4), B(3, -1,6) を通る直線 AB を考える。 (1) 直線 AB を媒介変数表示の形で表せ。 (2)* 直線 AB と平面 4.z + 2y - 3z ==6 の交点を求めよ。

(2)の解き方を教えて欲しいです。 また、応用問題のときのTを消去する時のやり方のこつがあったら教えて欲しいです🙇‍♀️

129 次の式で表される点P(x, y)は,どのような曲線を描くか。 ()x=f+, y=t-- 1-t2 ソ=t- *(2) x= 1+?' 1+t? ソ= A+ 2+2

すみません。下線部の直線abは〜だからとありますが。 aとbの座標で式を求めたのはわかるのですが、 0=<a=<1 のときa=1 a=0の場合不適のように思えるのですが なぜこの様な式になっているのですか。

4 アステロイド- 図のようにxy平面上に点A(a,0), 点B(0, b) をとり,線分ABを YA 1 ttの比に内分する点をPとする.ただし、a≧0,b≧0,0<x<1 であり 線分ABの長さは常に1とする. b (1) 点Pの座標およびy座標をaとt で表せ. (2) 点Aが0≦a≦1の範囲で動くとき, 点Pはどのような曲線上を動くか. (3) (2)で求めた曲線上の点Pにおける接線が、 直線AB に一致するとき, aとの関係を求めよ.また, この関係を満たしながらtが0<t<1の範囲 で動くとき、 接点はどのような曲線上を動くか. 0 a x (名古屋市立大薬一中 / 後半省略) アステロイドの性質 アステロイド ( 138472323=1:媒介変数表示はx=cos30, y=sin30) は, 長さ 1の線分がx軸,y軸上に両端点がある状態で動くときに通過する領域の境界にあらわれる.例題を解 くと,(2)が楕円,(3) 後半の曲線がアステロイドになり、両者は接する (接点は (3) 前半で求めたも の傍注の図参照). 演習問題も同じ図になるが, AB の通過領域を求める計算をやってみよう. 解答量 (1) AB=1よりb=√1-² であるから, P (ta, (1-t)√1-α² ) (2) x=ta,y=(1-t) √1-² からαを消去すると, t a=², 1-a²=( より 十 + 2² y² -=1 t² (1-t)² 1-t x² 22 (3) 楕円 + =1上のP (ta, (1-t) √1-α²) における接線は, t² (1-t)2 ta (1-t)√1-a² +2x+ (1-1)² y=1 すなわち x+1-02 -y=1である. エ y 一方,直線AB は + -=1だから、 両者が一致するとき, a √1-² a √1-a² かつ : a=√t t a 1-t √1-a² a=√t のとき,P(x,y)=(tv/t, (1-t) 1-t) となるから, x=t², y=(1-t) ² 2 3 tを消して, y=(1-x 37 ) 12/27 .. x3+yz=1 1-t 04 演習題 (解答は p.42) xy平面において, 長さが1である線分ABが, A をx軸上に, B をy軸上に置いて, 動 けるところをすべて動くものとする. (1) tを0≦t≦1なる定数とする. 線分AB を (1-t) :tに内分する点Pの軌跡を求 めよ. (2) 線分AB (両端を含む) が通過する領域を(1) の結果を利用して求め,図示せよ. (3) sを0<s<1 なる定数とする. 線分AB を (1-s): s に内分する点をQとしたと ( 日本医大 ) き,線分 AQ (両端を含む) が通過する領域を求め,図示せよ. B 1-t A 01-1 楕円の接線の公式. ←第2式からは 1-4²=1-t (2) と(3) を重ねて描くと―― YA P(+², (1-t)) 1 x (2) ファクシミリの原 理を使う. (3) (1)と(2)を重ね てみよう. 35

青チャ数3の261です。増減表のところとか、何をやっているのかわかりません。全体の流れを詳しく解説お願いします。

|囲まれた部分の面積Sを求めよ。 基本 例題261 媒介変数表示の曲線と面積(1) |媒介変数tによって、 x=4cost, y=sin2t (0<ts)と表される曲線とx軸で 、媒介変数tを消去して y=F(x) の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。 3 面積を定積分で表す。 計算の際は、次の置換積分法を用いる。 1 曲線とx軸の交点のx座標(y=0 となるtの値)を求める。 431 OOO00 本 259 できない。 重要190)(重要 262 計 (x,y) 8章 その変化に伴う,xの値の変化やyの符号を調べる。 38 面 (x,一y) S-Sydx=()f()dt a=f(), b=f(B) 積 解答 のの範囲でy=0 となる tの値は 0SIS また。 ① の範囲においては, 常にy20である。 (検討 t=0, 2 xとtの対応は次の通り。 π dx =-4sint dt =x4-x2 t|| 0→ ズ=4cost から x||4→ 0 dx=-4sintdt よって また, 0StS号ではy20で 2 リ=sin2t から π T 0 あるから,曲線はx軸の上側 4 2 の部分にある。 『=2cos 2t であり, dt =ーズ4-2 dx 0 dt 面積の計算では,積分区間 上下関係がわかればよい か ら,増減表や概形をかかなく ても面積を求めることはでき る。しかし,概形を調べない ダ-0とすると π t= 4 4 |2,2 x ゆえに,右のような表が得 dt られる(>は減少,ノは増 dy 2 0 と面積が求められない問題も 0 あるので,そのときは左のよ 0 1 加を表す)。 y 0 aうにして調べる。 dtes+ y4 しても = sin2t-(-4sint)dt (*)重要例題 190 のように ー,→, 1, !を用いて表 してもよい。 『よって S= 1nial と (t=0) 1 niat-1 2,2 4 * 0 sin2tsintdt 'sin't(sint)'dt =8 =8 sin?tcos tdt /ha0oaie 8 3 とする (0StSz)とx軸および直線x=rで囲まれる部分の面積Sを x=t-sint 練習 曲線 【筑波大) (p.440 EX217 261 lソ=1-cost 求めよ。 140 EX216 」 1 K

青チャ数3の261です。増減表のところとか、何をやっているのかわかりません。全体の流れを詳しく解説お願いします。

|囲まれた部分の面積Sを求めよ。 基本 例題261 媒介変数表示の曲線と面積(1) |媒介変数tによって、 x=4cost, y=sin2t (0<ts)と表される曲線とx軸で 、媒介変数tを消去して y=F(x) の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。 3 面積を定積分で表す。 計算の際は、次の置換積分法を用いる。 1 曲線とx軸の交点のx座標(y=0 となるtの値)を求める。 431 OOO00 本 259 できない。 重要190)(重要 262 計 (x,y) 8章 その変化に伴う,xの値の変化やyの符号を調べる。 38 面 (x,一y) S-Sydx=()f()dt a=f(), b=f(B) 積 解答 のの範囲でy=0 となる tの値は 0SIS また。 ① の範囲においては, 常にy20である。 (検討 t=0, 2 xとtの対応は次の通り。 π dx =-4sint dt =x4-x2 t|| 0→ ズ=4cost から x||4→ 0 dx=-4sintdt よって また, 0StS号ではy20で 2 リ=sin2t から π T 0 あるから,曲線はx軸の上側 4 2 の部分にある。 『=2cos 2t であり, dt =ーズ4-2 dx 0 dt 面積の計算では,積分区間 上下関係がわかればよい か ら,増減表や概形をかかなく ても面積を求めることはでき る。しかし,概形を調べない ダ-0とすると π t= 4 4 |2,2 x ゆえに,右のような表が得 dt られる(>は減少,ノは増 dy 2 0 と面積が求められない問題も 0 あるので,そのときは左のよ 0 1 加を表す)。 y 0 aうにして調べる。 dtes+ y4 しても = sin2t-(-4sint)dt (*)重要例題 190 のように ー,→, 1, !を用いて表 してもよい。 『よって S= 1nial と (t=0) 1 niat-1 2,2 4 * 0 sin2tsintdt 'sin't(sint)'dt =8 =8 sin?tcos tdt /ha0oaie 8 3 とする (0StSz)とx軸および直線x=rで囲まれる部分の面積Sを x=t-sint 練習 曲線 【筑波大) (p.440 EX217 261 lソ=1-cost 求めよ。 140 EX216 」 1 K