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G+t5Pはtの 2次式 になるから, 基本形 a(t-p)+qに直す。
|(2) 定点 A(2, 0, 3), B(1, 2, 1)と, xy平面上を動く点Pに対し、
(1) a=(2, 1, 1), 万=(1, 2, -1) とする。 ベクトルa+tbの大きさが
(1) 原点0と2点A(-1, 2, -3), B(-3, 2, 1) に対して,
基本 例題49 ベクトルの大きさの最小値など
-(2. 1, 1), 万ー(1, 2, -1)とする。 ペクトルā+6の
「万は「万として扱う に従い, ā+t5 の最小値を調べる。
折れ線の最小 対称点をとって1本の線分にのばす
458
なるときの実数tの値と, そのときの大きさを求めよ。
の29
基本9,数学1重
の最小値を求めよ。
指針>(1)
(2) 平面上では,
に従い,右の図のようにして
AP+PB=AP+PB'>APo+P.B'=AB'
から,折れ線 AP+PB の最小値は AB'であるとして求めた。
空間においても同様の考え方で求められる。
の30
A
解答
4p.397 基本例題9と同
31
(1) a+t5=(2, 1, 1)+t(1, 2, -1)=(2+t, 1+2t, 1-t)
ゆえに
領の解答。
9
11
=6t2+6t+6=6(t+
2
=6(+)+6
9+19+49>
よって,a+t5fはt=-;のとき最小となり,
- 32
2
a+t5|20 であるからa+tb|もこのとき最小になる。
--のとき最小値 -。
参考 a+切が最がに
のは,a+515のときて
る。p.397 参照。
したがって
t=-
3
V2
V2
(2) xy 平面に関してAとBは同じ
側にある。
そこで,xy 平面に関して点Bと対
称な点をB'とすると B'(1, 2, -1)
であり, PB=PB'であるから
l2座標がともに正であお
ら。この断りは必要。
2。
3
A
33
検討
「2点間の最短経路は、1
結ぶ線分である。」
(2)ではこのことを利用的
1
lo B
1
AP+PB=AP+PB'>AB'
よって, Pとして直線 AB' と xy平
面の交点P。をとると AP+PBは最
小となり,最小値は
AB=(1-2)+(2-0)°+(-1-3)°=/21
y
VB
3
5
Po
会 00 0
練習
49
p=(1-t)OA+tOB とする。かの最小値
(2) 定点AG
方散(の値を求め
