これってどこを見たらf(x)が下に凸で、0<x<1においてy=xよりも下にy=f(x)があるってわかるんですか？

重要 例題 ex-1 190 逆関数と面積 ビニとする。 315 00000 方程式f(x)=xの解は,x=0,1のみであることを示せ。 の 5 関数y=f(x)のグラフとその逆関数のグラフで囲まれた部分の面積を求め 1円 [物 [類 大阪府大 ・基本 10. 177 線 指針 解答 また, 1 <e-1 <e から (1) g(x)=f(x)-xとおいてg'(x) を計算し,g(x)の増減を調べる。 (2) 逆関数f-'(x) を求めて面積を計算してもよいが、次の性質を利用するとよい。 関数f(x)とその逆関数(x)について,y=f(x)のグラフとf(x) このグラフは直線y=x に関して互いに対称である ・解答の(2)の図を参照。 対称性を利用して,y=f(x) のグラフと直線 y=xで 囲まれた部分の面積の2倍として求めると, 計算がらくになる。 (1) g(x)=f(x)-x とすると g'(x)=-1 -1= ex-(e-1) e-1 x=log(e-1) g'(x)=0 とすると, ex=e-1 から g(x)の増減表は右のようになる。 ここで g(0)=g(1)=0 49(x)=-1-x x log(e-1) g'(x) 0 + 0<log(e-1)<1 g(x) 極小 6 よって, 方程式g(x) = 0 すなわち f(x)=xの解は x=0 1のみである。 <極小値 g(log(e-1))<0 章 (2)y=f(x) のグラフとy=f'(x) このグラフは、直線 y=x に関して 対称であるから (1) の結果も考慮 すると,これらのグラフの概形は y y=f(x)/y=xy=f(x) のグラフは下に 凸で, (1) から, 2点 27 面 00 (11) を通る。 積 また、x201≦xでは y=f¹(x) f(x)≥x, 0≤x≤1 右の図のようになる。 ゆえに、求める面積は 2(x-f(x))dx 01 f(x) ≦xである。 これらと対称性を利用し y=f(x)のグラフ の概形をつかむ。 ex. -2(x-1)dx=2(x²--]-3-0 逆関数f(x) を具体的に求めると,f'(x)=log ((e-1)x+1) となる。 190 1/(x)=x(x-2) とする。 また, f(x) の逆関数をf'(x) とする。 (1)2つの曲線 y=f(x),y=(x) および直線y=√2-xで囲まれた図形を図示 OS

問題の右に書いてある、(2)の文の意味がよく分かりません なぜ原点を通れば求まるのでしょうか？

03 演習題(解答は p.123) zy 平面上の曲線 C:y=x'eについて、次の問いに答えよ. (1) 曲線Cのグラフを描け、曲線の凹凸も調べよ lim xle = 0 であることを使って もよい。 X118 (2) 直線y=mzが原点O以外の点で曲線Cに接するように実数の値を定めよ. (3) (2) のとき,直線 y=mx と曲線 C で囲まれた図形の面積を求めよ (京都産大・理系) (2) (t, tel)にお る接線が原点を通る (3) Oと接点の間で の凹凸は一定ではない が,図から上下がわかる 112

赤線を引いてあるところで、なぜこのような計算をするのかが分からないです 教えてくださると嬉しいです🙇

B 12 関数 f(x) が2つの極値をもつから、f'(x) = 0 は異なる2 つの実数解をもつ. 関数 f(x)=x+kx+kx+1の2つの極値の和が2となるとき,kの値および2つの極 200 値を求めよ. f(x)=x'+ kx²+kx +1 より, f'(x)=3x+2kx+k (DA 極大値と極小値をもつ 1 したがって, -=k-3k=k(k-3)>0 つまり、f'(x)=0 の判別式をDとすると, D>0である. D 10<0 1st C ( 4 より k < 0, 3<k ・① 10 f'(x)=0 つまり,3x²+2kx+k=0 の2つの解をα β Joi (a<β) とすると,解と係数の関係より、 2 k a+β=-k, aβ= 3 2つの極値の和f(a)+f(β) は, S +de+ (EA に 190 f(a)+f(B)=(a+ko'+ka+1)+(B'+kB'+kβ+1) =(a+ρ^)+k(a^+ρ^)+k(a+β) +2 =(a+β)-3aβ(a+β) 60 2つの極値の和が2 9 k=0. 2 +k{(a+β)2-2aß}+k(a+β)+2 2 k -3. 3 右のように +k 考える 4 2 = k³- -k²+2 27 4 27 (2.5+ (3)+2 f(a)+f(B)=2より 12-12/21+2=2 2・ +k・ k²(2k-9)=0 したがって, ①より,k= 9 2

青→ピンクへはどのように式変形したのですか？ また、このように数字を出すというコツはありますか？

よって、この関数は+ x=0で極大値 0, x=1で極小値 -5, x=3で極大値 27 をとる。 グラフは [図] のようになる。 (4) y'=4x3-12x-8=4(x-3x-2) =4(x+1)(x-2) y'=0 とすると x=-1,2 の増減表は次のようになる。 x -1 2 0 0 + 極小 y 0 -27 =x Jei ① よって、この関数はx=2で極小値 27 をとる。 グラフは[図] のようになる。獣の寒 -

微分についての質問です。紫で囲ったところと青のマーカーを引いたところが何を目的として何をしているのかわかりません。また、a=-2,0という数字を出したのに-2が全く出てこない意味も理解できないです。教えてください。

3 392 第6章 微分法 例題 204 最大・最小の応用(3) 家 考え方 区間の変化を考えて場合分けをする。 このとき 区間の幅はつねに2であることに注意する a≦x≦a+2 において,関数 f(x)=x4x の最大値を求めよ。 **** 例題20 2/3 解答 f(x)=x-4x より f'(x) =3x-4 x 3 2√3 3 f'(x) = 0 とすると, f'(x) + + 0 x=2√3 3 f(x) 163 f(x)の増減表は右のようになる。 9 0 極大 極小 16/3 f( 最小値が 考え方 グラ 解答 f(x f' 「練習 204] **** (a)=f(a+2) とおくと a3-4a=(a+2)3-4(a+2) 6a2+12a=0 より a=-2, 0 | | 最大 2v3 2√3 (i) a +2≦! つまり x 3 2/3 2√3 am! --2 のとき, 3 3 3 以下の 9 f(a) = f(a+2)+ るときのαの値が場 m 合分けの境界 ( i )は区間の右端 x=a+2 が x=- 2/3 a よう グラフは右の図のようになる. 場合 x =α+2 のとき, 最大値 f(a+2)=a+a+8a(笑) a a+2 ↓最大 2√3 2/3 (ii) a≤3 <a+2 つまり(2 37 x 23-2<am-230 2√3 3 3 3 のとき, Sa a+2 グラフは右の図のようになる. 大量 2/3 x=- のとき, 3 2√3 最大値(-2/3)= 163 最 05(2) 3 ' (i)はx= 大値をとるx)が区 ある場合 a=-2 はこの場合 に含まれ、最大値の 場合分けには関係し ない. まとめて a=0 のとき, 2√3 3 9 0 x f(a)=f(a+2) とな (iii) 2/3 <a≧0 のとき, 2√3 J3 3 グラフは右の図のようになる。 aa+2 x=a のとき, 最大値f(a)=a-4a $301>>0 (iv) a>0 のとき, 2√3 ●最大 グラフは右の図のようになる. 3、 り区間の両端で最 大値をとる. これを 境にして最大値をと るxの値がx=a から x=a+2に変わ る. F x=a+2 のとき, 20 最大値 f(a +2)=a+ba²+8a 1510 x (iv)は区間の左端 x=a 2v3 3 aa+2 がx=0より大きい 場合 まとめた a≦x≦q+3 において,関数 f(x)=x3xの最大値および最小値を求めよ. 809

増減表の矢印がなぜこのようになるかわかりません

重要例 , 極値を求めよ。 x logx (2)y= となるxの値を求め, 増減表をかく。 よ。 _2 2003 にもf (α) が極値となる場合がある。

増減表の左にあるここで、Ｍ＝αが〜 となっていて、式の次数を下げて代入を簡単にしていると思うんですけど、これってどうやったら思いつきますかね？いっぱい解くしかないですかね、

7 最大 最小 (近畿大薬 座標平面において, 4点A(-1, 1), B(-1, 0)C(1,0), D(2,2)と直線y=ma ぞれa,b,c,dとし, I'd とする. Im で表し,Iの最大値と最 一般には極値で最大・最小になるとは限らない 次の人はささいなことだが, 意外にも効 確かに極値で最大・最小となることを答案にはっきり書くようにしよう. 分数関数の極値を求めるとっておきの方法 f(x)=g(x) lim f( 本間の場合, m は実数全体を動くの 最小値があるとすればそれは極大値・極小値しか考えられないが, limf (m), m118 m [証明] ( {h(x)}2 .. h(x) f'(x)='(x) h(x)-g(x)h'(x) g(a) g'(a) h(a) h'(a) f(a)=g(a)_g' (α) h(a) h'(a) がx=αで極値をとりん (α)≠0ならば,f(α)=g′(a) である. h' (a) がx=αで0になるから,g' (α) h (α) 解答 |-m-1| a= b= 1-ml √m²+1 √m²+1 C= |m| √m²+1 |2m-2| d= であるから, 4点A √m²+1 距離 直線の 7m²-6m+5 I=2+2+c+d2= m²+1 f'(m)=- (=f(m) とおく) (14m-6)(m²+1)-(7m²-6m+5)2m (m2+1)2 6m²+4m-62(3m²+2m-3) ・① 6 M M² (m2+1)2 (m2+1)2 -1±10 3m²+2m-3=0の2解は であり,α, B(a<β) とおく. 3 f (m) は右のように増減し, limf(m)=7 m-too なので, m=αで最大, m=βで最小になる. ここで, m=αが①の分子を0にするから, (14a-6) (a2+1)=(7a2-6a+5)-2a 7a2-6a+5 14a-6 a²+1 2a : f(α)=- = m *** a .. B *** f'(m) + 0 f(m) 17 0 + + 9 3 =7--=7+ =7+(√10-1) α √10 +1 同様にf (B) を求め, 最大値はf(α)=6+√10. 最小値はf(B)=6-10 07 演習題(解答は p.58)

数2の質問です！ 235の①の判別式の代入する式について 分かりやすく教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

テーマ 106 極値をもつための条件 応用 関数f(x)=x+ax²+2ax+5 が極値をもつような、定数αの値の範囲を 求めよ。 f(x)が3次関数のとき, f(x)は2次関数である。 したがって 3次関数f(x) 極値をもつ⇔(x)の符号が変わる点がある ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ 解答 f(x) 極値をもつのは, f (x) = 0 すなわち 3x²+2ax+2a=0 が異なる2つの実数解をもつときである。 ...... ① よって, ①の判別式をDとすると a²-3.2a>0 すなわち a(a-6)>0 したがって a < 0, 6 <a 答 ✓ 練習 235 関数f(x)=x-3ax2+3(a+2)x+1が極値をもつような, 定数 αの値の範囲を求めよ。 234 (1) f'(x) =3x2-2kx+5 x)\ E) よって, yは *f(x)が常に増加するための条件は,すべての 実数xについてf'(x) 20が成り立つことであ 6. A よって、 2次方程式f'(x)=0の判別式をDと D≤0 すると 2=(-k)2-3.5=k-15であるから D 4 したがって 240 2150 -√15≤ k ≤√151 (2) f'(x)=-3x²+2kx-6 f(x)が常に減少するための条件は,すべての 実数xについてf'(x) ≤0 が成り立つことであ る。 よって, 2次方程式f(x)=0の判別式をDと DSO MOMRAH すると A 2=(-3)(-6)=k-18であるから -xx-2-18≤0 したがって3 235 f'(x) =3x2-6ax+3(a+2) =3(x2-2ax+α + 2 ) f(x) が極値をもつための条件は、f'(x) = 0 すな わちx2-2ax+a+2=0 ...... ① が異なる2つ の実数解をもつことである。 よって、 ①の判別式をDとすると x=0で極大値 -5, x=1で極小値10, x=3で極大値 22 をとる。 また, グラフは右の 図のようになる。 解答編 (2) y'=4x3-12x2=4x2(x-3) 無 1 0-5 3 -10 el-y'=0 とするとx=0,3 の増減表は次のようになる。 x 0... 3 y' = 0 = 0 + 極小 y 5 -22 よって, yは x=3で極小値-22 をとる。 3 また, グラフは右の図。 のようになる。 0 注意 x=0では, 極大 -22 も極小でもない。 y'=0 とすると 0 x=±2 237(1) y'=3x2-12=3(x²-4)=3(x+2) の増減表は次のようになる。 D =(-a)²-1.(a+2)>0 4 すなわち (a+1)(a-2)>0x したがって a<-1, 2<a 236 (1) y'=-12x3+48x2-36x x -3 -2 *** 2 y + 0 - 0 + 9 極大 極小 7 16 -16 よって、この関数は x=-2で最大値 16.x=2で最小 3

この続きってどのように解けばいいんですか？💦

実数aに対し,関数f(x)=ax- 3 2 (a2+1)x2+3ax とおく。 ただし, a≠0 とする。 (1) f(x) が極値をもたないようなαの値を求めよ。 (2)f(x) の極大値が正で,極小値が負となるようなαの値の範囲を求めよ。

数学得意な人お願いします🙇‍♀️ 答えだけではなく考え方も教えてくれるとうれしいです！

kを実数とする. æについての3次方程式2x2-4x+k=0の3解をα, B, yとし,これらに対応する複素数平面上の3点を A (α), B(β), C (y) とする. (1)3点 A, B, Cが二等辺三角形をなすような実数kの値の範囲を求めよ. (2)実数kが(1)で求めた範囲を動くとき, 二等辺三角形ABCの長さの等しい2 辺の間の角の大きさを0とする. 0の取りうる値の範囲を求めよ.