重要 例題 41 2次方程式の解の条件と確率
①①①①①
000
3,4,5,6,7,8 から3つの異なる数を取り出し、 取り出した順にα, b, c とす
る。このとき, a, b, c を係数とする2次方程式ax2+bx+c=0 が実数解をもつ
確率を求めよ。
基本36
指針 この問題では,数学Ⅰで学ぶ以下のことを利用する。
2次方程式 ax+bx+c=0)の実数解の個数と判別式D=b4acの符号の関係
D>0 のとき,異なる2つの実数解をもつ
D≧0 のとき,
......
★
D=0 のとき, ただ1つの実数解 (重解)をもつ実数解をもつ
D<0 のとき, 実数解をもたない
ゆえに, D=b2-4c≧0 を満たす組 (a, b, c) が何通りあるか,ということがカギと
なる。この場合の数を 「a, b, cは3以上8以下の整数」, 「a=bかつbcかつc≠α」
という条件を活かして, もれなく、重複なく 数え上げる。
解答
できる2次方程式の総数は P3=6・5・4=120 (通り)
2次方程式 ax2+bx+c=0の判別式をDとすると,実数
解をもつための条件は D≧0
①
1組 (a, b, c) の総数。
本
D=62-4ac であるから b2-4ac≧0
a,38, 3≦cs8であり, a≠cであるから
b'≧4ac≧4・3・4
6=7,8
}
(*)
28
指針
★の方針。
本
acのとりうる最小の値
に注目する。
<72=49>48 であるから
6=7,8
①より
ゆえに
62≧48
よって
6=7 のとき, ①から
49
724ac すなわち ac≦ =12.25
-206
4.28
この不等式を満たすα, cの組は
(a, c)=(3, 4), (4, 3) (n) (E)
b=8のとき, ①から
824ac すなわち ac≦16
この不等式を満たす α, c の組は
(a, c)=(3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)
2+4 1
したがって、求める確率は
=
120 20
3以上8以下の異なる2
数の積は, 小さい順に
3・4=12, 3･5=15,
3・6=18>16
以後も16より大きい。
よって, a,cの組を絞る
ことができる。
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