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46
CONNECT 数学ⅡI
188
問題の考え方
接点の座標を(x1, y) とおき、与えられた条
件からx を求めることを考える。
[別解 2つの接点を(x1, y'1), (x 27 y'2) とおき,
それぞれの接点における接線の方程式を考
える。これらの方程式が(-1, 7) を通るこ
とから, 2点を通る直線の方程式を考える。
接点の座標を(x1, y) とおく。
点 (x1,y1) は円x2+y2=25上にあるから
x2+y2=25
①
接点(x,y) における接線の方程式は
x1x+y=25
この直線が点(-1,7) を通るから
x1+7y1=25
①,② から x を消去して整理すると
P12-7y1+12=0
1 = 3,4
=3のとき x= -4,
=4のとき x=3
これを解くと
②に代入して
よって、2つの接点の座標は
(-4, 3), (3, 4)
したがって、2つの接点を通る直線の方程式は
y-3=
{x-(-4)}
4-3
3+(+4)
すなわち x+7y=25
別解 A (x1,y1), B (x2, y2) とすると, A, Bにお
ける接線の方程式は,それぞれ
x1x+y1y=25, x2x+yzy=25
それぞれ点(-1, 7) を通るから
x+7y1=25
-x2+7y2=25
281
①
......25
ここで, 直線 x+7y=25 ･･････ ③ を考えると,
①, ② から,直線③は2点A, B を通る直線で
ある｡
よって, 直線AB の方程式は
-x+7y=25
189
■問題の考え方■■
接点の座標を(ⅹ1, 1) とおいて接線の方程式
を考える。また、この点が円周上の点である
ことから条件式が導ける。 これを用いて x1,
の値を求め,接線の方程式を求める。
接点の座標を(x1, y1) とする。
点 (x1, y1) は円x2+y2=50上にあるから
x2+yj² = 50
接点 (x1, 1) における接線の方程式は
xx+y=50
(1) y=0のとき, 接線②は直線xキョー
ではない。
よって, 接線 ② が直線 x+y=1に平名
とき,
191
よって
x1 = y1
①,③からyを消去して整理すると
これを解くと
x=-5,5
③に代入して
0で
X1
y1
-1
=-5のとき
=5のとき
よって,接線の方程式 ② と接点の座標に
ようになる。
x1
接線 x+y=-10, 接点 (-5,
接線 x+y=10, 接点 (5,5)
(2) y=0のとき,接線②は直線+リニー
垂直ではない。
よって,接線②が直線7x+y=-2に
るとき, y=0 で
よって
-7x₁=Y₁
4
①,④ から y を消去して整理すると
これを解くと
x1=-1,1
④ に代入して
Y1
(1) 求める円の半径を
は円の中心 (30)
に等しいから
x=1のとき
x=1のとき
|- (-7)=-1)
よって 求める円
すなわち
(2) 中心が直線 y=
(a, 34) とおける
直線 2x+y=0 に
とすると
7.
i=-7
よって,接線の方程式 ② と接点の座標は、
ようになる。
問題の考え
円が直線に接する
線と中心の距離に
接線 -x+7y=50, 接点 (-1,7)
接線 x-7y=50, 接点 (1, -7)
②に移る｡
よって 求める
(x-a)²+(2
とおける。 この
(2-a)²+(
Y
190 円の中心 C (1, 2) と点P(4,3)を通る直
CPの傾きは2=2=1/23
4-1
求める接線は CP に垂直で,点 (4,3)を通る
その方程式は
y-3=-3(x-4)
すなわち
3x+y-15=0
別解円(x-1)+(y-2)=10...... ① ,
向に -1, y 軸方向に2だけ平行移動すると
① は円x2+y2 = 10
この平行移動により、円
(31) に移る。
点 (31) における円②の接線の方程式は
3x+y=10
求める接線は, ③ をx軸方向に1, y軸方向に
だけ平行移動したもので, その方程式は
3(x-1)+(y-2)=10
すなわち 3.x+y-15=0
整理すると
これを解いて
したがって,
上の点43)は
192■問
円と直線の
方程式を
を考える。
(x-1)² +
[x² + y²
y=m
②①に
(m² +
この2次方
D
4
D > 0 と
m²_
D=0 と
m².
D<0 と
m'
m2
が
したが-
m
m
