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C₂
ころ
R"
数学Ⅰ･数学A
第4問
自然数nの累乗を17で割ったときの余りについて考える。さら
(選択問題)
(1)n=1,2,3,4,5,6,7,8のとき,n を17で割った余りは表1のように
なる。
n
第3問~第5問は,いずれか2問を選択し、解
(配点20)
neを17で
割った余り
=
つ
433
となることがわかる。
1
1356) 17.20+16
17²20g
22
1
1
=16
=256
2
4
らが
n=9のとき, 917-8 であるから
92= (17-8)²
=172-2×17×8+82
4
=17(17-2×8 ) +82
3
9
9
表 1
X
したがって, 92 を17で割った余りはアイ
4,
16
同様に考えると,3562 を17で割った余りは
16
13
42 -
16
936
16
256
5
25
8
6
36
である。
2
7
49
15
20
17)356
34
7/8
16
34
8
64
86
8.5
13
ウである。
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
16
175
15/256
ノク
17
5
97
17/34
133²
16
14
²0+16
2²=0433
n²³ 17.0+134)
数学Ⅰ・数学A
(2) 17+1=n².① を満たす自然数nの組について考えてみよう。
① を変形すると
171=n2-1
1=inp
aimpt/
7p599
In-974
=(n+1)(n-1)
15
となり, 17 は素数であるから, n+1またはn-1が17の倍数である。
n+1が17の倍数であるとき、自然数を用いて
n+1=17p
n=17p-1
mpt 1/100とま
P/5.
84
1台170-14100
25170 ≦101
②のように表されるnのうち, 1≦n'≧ 100 の範囲にある最大のものは
と表される。
X
エオ
である。
P=5
また, n-1が17の倍数であるときも含めると、①を満たす自然数nの組で
1≦x≦100 を満たすものは全部で カキ 個ある。
10
(3) 17m+1=n ...... ③ を満たす自然数m,nの組について考えてみよう。
③を変形すると
17m=n²-1
=(n²+1)(n²-1)
となり, 17 は素数であるから n²+1またはn²-1が17の倍数である。
16:30
²+1が17の倍数となるのは、nが, 17で割ると
余る数または
ケコ
5
10)
875
16
余る数のときである。
in SPS 15
ク
- 43 -
また, n²-1が17の倍数であるときも含めると, ③を満たす自然数m,nの組
で1≦n≦100 を満たすものは全部でサシ 個あり,このうち最大のnは
スセである。また, nが最小となるときのの値はソタである。
