例題
2 整数の除法と余りによる分類 499
249 余りによる場合分け(2) (風のお問合
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npを任意の自然数とするとき,n と n+4は一の位が一致することを
示せ.
2000
考え方 2つの自然数の一の位が一致するということは,
解答
2つの自然数の差を考えると一の位は「0」になる.
つまり、2つの自然数の差は10の倍数になるということである.
10の倍数であることを示すには、2の倍数かつ5の倍数であることを示せばよい.
N=np+4_n とおくと,
b
N=n(n-1)=(n-1)n(n+1) (n2+1)
n(n+1) は連続する2つの自然数の積であるから, 整数Nは2の倍数である.
自然数nを5で割ったとき,余りは0,1,2,3,4のいずれかであるから, 自然
数は5k,5k+1,5k+2,5k+35k+4(kは整数)のいずれかの形で表せる。
(bom)a=
ここで,
mod 12)
5k+3=5(k+1)-2より,5で割って3余る整数は5k-2としてよく,
(mbo5k+4=5(k+1)-1より,5で割って4余る整数は5k-1としてよい.
(i) n=5k のとき,整数Nは5の倍数
(ii)n=5k±1 のとき,n+1=5k (複号同順) となり,
整数 N は5の倍数は正
(n=5k±2 のとき, n2+1=(5k±2)2+1=5(5k±4k+1) (複号同順)より,
①より 整数Nは5の倍数
(bom) 1-
Focus
(i)~ (iii)より, すべての自然数nに対して, 整数Nは5の倍数である.
したがって、整数Nは2の倍数かつ5の倍数であり,
2と5は互いに素であるから,Nは10の倍数である.
よって,n+4は10の倍数より,
n+4 と n の一の位の数字は一致する.d10)
求める
2つの自然数の一の位の数字が一致する
⇔ 2つの自然数の差が10の倍数
注
>例題249は、整数を累乗した数の一の位の数の周期性を示している。
たとえば,』を自然数としての一の位の数をf (p) で表すと,
f(1)=7,f(2)=9,f(3)=3,f(4)=1,f(5)=7,f(6)=9,f(7)=3,f(8)=1,
(例題251(2
する。
のは同じになる.
このゆりがどのよう
