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● 6 整式の割り算/2つの余りの条件
(ア) 整式f(x) はæ-1で割ると余りが3である.また, f (x) をx'+x+1で割ると余りが
4+5である. このとき,f(x) を3-1で割ったときの余りを求めよ.
(関西大 総合情報)
(イ) 整式f(x) をx2-4x+3で割ったときの余りは+1であり2-3x+2で割ったときの余
りは3-1である. f(x) を x3-6x2+11x-6で割ったときの余りを求めよ. (秋田大 医)
2つ目の条件の反映させ方 (ア)のように,2つの余りの条件がある場合,それらの割る式を掛け合
わせた式で割ったときの余りを求めることが多い。 (ア)を例にして説明しよう。 一方の余りの条件(割
る式の次数の高い方 いまは2+x+1) の商をA (x) とおくと,
f(x)=(x2+x+1)A(x)+4 +5•••アと表せる. いま, f(x) をx-1=(x-1)(x2+x+1)で
割った余りを求めたい. そこで,x 3-1が現れるように, A (x) をæ-1で割ることを考える. A (x) を
x-1で割った商をB(x), 余りをとして, A(x)=(x-1)B(x)+rとおき,アに代入する.この式
に対して,もう一方の余りの条件を反映させてを求めれば,-1で割った余りが分かる.
解答量
(ア) f(x)=(x+x+1)A(x)+4+5
A(x)=(x-1)B(x)+r
と表せるから, f (x)=(z+x+1){(x-1)B(x)+r}+4m+5
=(x-1)B(x)+r(x2+x+1)+4 +5
f(x) をx-1で割ると余りが3であるから, 剰余の定理により, f (1)=3
①にx=1を代入して, f(1)=3r+9
..
したがって, ①により, 求める余りは,
3r+9=3
r=-2
・①
←前文参照.
f(x) を-1で割った余りは2
次以下になるが, ①により,
f(x) をx-1で割った余りが
r(x'+x+1)+4+5であるこ
とが分かる.あとはを求めれ
ばよい.
-2(x2+x+1)+4x+5=-2x2+2x+3
(イ)-4x+3=(x-1)(x-3), x2-3x+2=(x-1)(x-2),
x³−6x²+11x−6=(x−1)(x²-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)
であることに注意する. f(x) をx2-4x+3で割った余りがx+1である. 商を
A(x) とおくと, f(x)=(x-1)(x-3)A(x)+x+1
x-6x2+11c-6にx=1を代入
すると0になるから, 因数定理に
よりæ-1で割り切れる (次章の
◇4 を参照).
①
ここで,A(x)=(x-2)B(x)+rと表せ,これを①に代入して
A (x) をx-2で割った商が
2
B(x), 余りが (1次式で割った
から,余りは定数).
f(x)=(x-1)(x-3){(x-2)B(x)+r}+x+1
一方,f(x) をx2-3x+2で割った余りが3-1であるから,
f(x)=(x-1)(x-2) Q(x)+3x-1.
と表せる.上式にx=2を代入して,f(2)=5. ②にx=2を代入して,
.. -r+3=5 .. r=-2
f(2) =-r+3
②から,f(x)=(x-1)(x-2) (x-3)(x)-2(x-1)(x-3)+x+1
を求めるには,②でB(x)が消
えてrが残るx=2に着目.
m
したがって, 求める余りは,=-2x2+9x-5
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