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EX
65
正四面体OABC に対して, 3 点 0, A, B と同じ平面上の点Pが 3OP=2AP+PB を満たし
(1) OP をa, で表せ。
いる。 OA=α,OB=6,OC=cとおくとき
(2) △ABCの重心と点Pを結ぶ線分が面 OBCと交わる点をQとする。 OQ をd, b, c で
せ。
[福井大
30P-2AP+PB から 3OP=2 (OP-ON) + OB-OP
OP=ON+1/2OB=-a+1/26
よって
(2) PQ:QG=s: (1-s) とすると
OQ=(1-s) OP+sOG
=(1-s)(+1/26)
+ s
- (²-1)+(²-) 6 + 2 c
4
138-1=0
点Qは平面 OBC上にあるから
3
s=³ 4
ゆえに 0Q=³b+-
8
よって
1→
4
点Dから平面ABCに下ろした垂線の
足をHとする。
Hは平面ABC 上にあるから
DH=sDA + tDB+uDC,
s+t+u=1
・①
=(s-u, -2s-3t-2u, -7s-6t-5u)
DHは平面ABC に垂直であるから
ゆえに
DH AB=0
第2章 空間のベクトル
G
4s+3t+2u=0
B
2, DH.AC=0
EX 座標空間に4点A(2, 1,0), B(1, 0, 1), C(0, 1,2), D (1,37) がある。 3点 A, B, C を通
66 る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき, 点Eの座標を求めよ。
[京都大〕
..…...
●D
C
と表される。
DA=(1, -2, -7), DB=(0, -3, -6),
DC=(-1,-2,-5)であるから
DH=s(1, -2, -7) +t(0, -3, -6)+u(-1,-2, -5)
1-s
E
Hh 平面ABC
P
DH⊥AB, DH⊥AC
よって
6s+3t+2u=0
_C=(-2, 0, 2) であるから, ③ より
u_u)x (-2)+(-2s-3t-2u)×0+(-7s-6t-5u)×2=0
って
(5)
[HINT] 平面 OBC 上
点は mi+nc で表され
る。 ただし,m,nは実
数とする。
【3点G QPが一直
線上にあることから,
PQ=sPG として考え
てもよい。 その場合,
OQ=OP+PQ
=OP+SPG
=(1-s) OP+sOG
s+t+u=1」 の代わり
に、 「AH=sAB+tA
として考えてもよい。
の場合、DH=DA +7
■B=(-1,-1, 1) であるから, ② より
s_u)×(-1)+(-2s-3t-2u)×(-1)+(-7s-6t-5u)×1=0 としてDHの成分を
を用いて表す。
口の係数が0。
HINT 点Dから平面
ABCに下ろした垂線の
足をHとすると, Hは線
分 DE の中点である。
よって DE=2DH
DH の成分は,
「Hが平面ABC上にお
る」, 「DH⊥平面ABC.
から求めることができ
Lint. 「DH
=sDA+tDB+uDC
