基本 例題 46 不等式で表される集合
実数全体を全体集合とし,その部分集合 A, B, C を A={x|-3≦x≦5},
B={x||x|<4}, C={x|k-7≦x<k+3} (kは定数)とする。古代
(1)次の集合を求めよ。
.109
2015
(ア) B
(イ) AUB
(ウ) ANB
(2) ACCとなるkの値の範囲を求めよ。
/p.80, p.81 基本事項 1, 3, 5
指針集合の要素が離散的な値 (とびとびの値) でなく連続的な値であるときも,その集合を
視覚化するとよい。 この問題のように, 全体集合が実数全体の場合, ベン図ではなく、
集合を数直線で表すと考えやすい。
解答
その際,端点を含むときは,含まないときは を用いて,
とくの違いを明確にしておく (p.63 参照)。 例えば,
P={x|0≦x<1} は右の図のように表す。
CHART 集合の問題 図を作る
(1)(ア)|x|<4から -4<x<4
よって, B={x|-4<x<4}
であるから
0
1 x
ー
<x<c (cは正の定数)
の解は
-4
4
x
-c<x<c
B={x|x≦-4, 4≦x}
(B={x||x|≧4} でもよい)
(イ) A,B を数直線上に表すと,
右の図のようになる。
-
よって
AUB={x|x≦-4,-3≦x}
(ウ) 右の図から
BB-
-A-
-4-3
45 x
<x<-4, 4<xは誤り。
端点を含まない範囲の集
合の補集合は,端点を含
む範囲の集合である。
←
○ 補集合は ●
A∩B={x|4≦x≦5}
(2) ACC が成り立つとき,
A, Cを数直線上に表すと,
右の図のようになる。 ゆえに,
全にk-7-35k+3x
ACCとなるための条件は,804
②
k-7-3
①,k+3>5
が同時に成り立つことである。
①から k≦4
②から
k>2
共通範囲を求めて 2<k≦4
A
(2) ①には等号がつくが
②には等号がつかない
ことに注意。 k-7=-3
のときは,-3はAの要
素でもCの要素でもあ
。 +3=5のときは、
要素であるが
Cの要素ではない。
