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例題 323 数学的帰納法と合同式
整数 an=19"+(-1)n-1.24n-3 (n=1,2,3, ..……) のすべてを割り切る
素数を求めよ.
(東京工業大)
考え方 自然数nに関する証明は数学的帰納法を用いる.
まずは n=1, 2 で具体的に調べてみる.
(別解) の合同式を使うとよりすっきりした解答になる.
[合同式] 整数a,bをmで割ったときの余りが等しいとき, (つまり, a-bがで
り切れるとき,) aとbはmを法として合同であるといい,
a=b (mod m) と書く.
"Paly
100-1=10€/sts Impo
解答|
n=1のとき, α=19'+(-1)1-1.24・1-3=19+2=21=7×3 a1, d2 の具体例で,求
n=2のとき, az=192+(-1)2-1.24･2-3=192-25
素数を特定する.
これより, a1,a2 を割り切る素数は7だけである.
よって,
=329=7×478=6+0=
す すべての an7で割り切れること
を数学的帰納法で示す.
(I) n=1のとき, α=21=7×3より (*)は成り立つ
とおける.n=k+1のとき,
$30 A=# >TH
. 9 (AZA)
.....
...(*)
(II)n=kのとき, αkが7で割り切れると仮定すると,
an=19k+(-1)-1.2437p (pは整数)
ak+1=19k+1+(-1)(k+1)-1.24(k+1)-3
=19.7p-(-1)^-1・24k-3.35
=7{19p-(-1)^-1.24k-3.5}
****
=19{7p-(-1)-1.24k-3}+(-1)k.24k+1- |19=7p-(-1) k-1.24k.
=19.7p-(-1)-1.24k-3(19−(-1)・24}
19-(-1)・2=19 +16
(1), ()=2" (mod 7)
より,
y (0-)(-A)*$ ► =(−2)² + (−1)n-¹.2″ (1+A£)$=0)
=(-1)"•2"-(-1) 2
YSOH
+8 +3
SATIKUS
ak が7で割り切れる
⇔ an は 7の倍数
これより,n=k+1 のときも(*)は成り立つ。
(I), (II)より, すべての自然数nに対して(*)は成り立つ
ので,求める素数は7である.
-ore=
(別解) 19"=(21-2)=(-2)" (mod 7) A)AS (I+AS) (21-2) nCo(-2)"
24n-3=2".23n-3=2"•(23)"-1=2"(7+1)^-1(S)
AS) AS
=0 (mod 7)
よって, an は 7の倍数であり, a1,a2 を割り切る
素数は7だけであるから, 求める素数は7である.
=35
(D+C1・21・(-2)"-1+….
(+2Cn_121"-1.(-2)
an=19"+(-1)^-1.247-3L) (IS) A+C,21" 次の式
mmmm
7の倍数
れている
