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重要 例題 52 2次方程式の整数解
[類名城大 ]
に関する2次方程式x(m-7)x+m=0 の解がともに正の整数である
とき,の値とそのときの解を求めよ。
数学A基本 106, p.70 基本事項
CHART SOLUTION
方程式の整数解
(整数)x (整数)=(整数)の形にもち込む ·····
2つの正の整数解をα, β とすると, 解と係数の関係から
a+B=m-7, aß=m
この2式からm を消去し, (αの1次式) (βの1次式) = (整数)の形にする。
解答
2次方程式x^2-(-7)x+m=0 の2つの解をα,β ( α≦β)
とすると, 解と係数の関係により
a+B=m-7, aß=m
m を消去すると a+B=aß-7
よって
aβ-α-β=7
ゆえに
(α−1)(B-1)-1=7
よって (n-1) (B-1)=8...... ①
α, β は正の整数であり, α≦B であるから
0≤a-1≤B-1
よって, ① から (a−1, ß-1)=(1, 8), (2, 4)
すなわち
(a, B)=(2, 9), (3, 5)
m=aβ であるから
(α,β)=(2,9) すなわち m=18 のとき x=2,9
(α,β)=(3,5) すなわち m=15 のとき x=3,5
inf 方程式を変形すると
m(x-1)=x2+7x
xが正の整数ならば右辺が
正。 ゆえに x=1である。
解答にあるとおり,
aβ=mであるからも
正の整数である。
よって, m=
から
8
x-1
したがって
_x2+7x
x-1
=x+8+
このとき
8
x-1
も正の整数。
x-1=1, 2, 4,8から
x=2, 3, 5, 9
の値は順に
m=18,15,15,18
となるから m=15,18
INFORMATION 不等式で範囲を絞り込む方法
係数が整数なら「整数解ならば実数解であるから 判別式 D≧0 (必要条件)」 によっ
て,係数の整数値を求め,その中から整数解をもつものを絞り込んでいく方法がある。
(p.69 EXERCISES 35 (2) 参照)
この例題では, 解と係数の関係からは整数であることがわかるが、判別式
D={-(m-7)}2-4m=m²-18m+49≧0からでは絞り込めない。
