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308
基本例題 182 最大値・最小値から関数の係数決定 (2)
a,b は定数で, a>0とする。 関数f(x)=x-6
x² +a
であるとき, a, bの値を求めよ。
6,
[弘前大]
指針▷ 増減表を作って, 最大値と最小値を求めたいところであるが,f'(x)=0となるの
複雑な計算はなるべく後で に従って, f'(x)=0 の解を α、Bと!
雑なため, 極値の計算が大変。
そこで,
2次方程式の解と係数の関係を利用して, α+β, αβ の形で極値を計算する。こ
指針
解答
a>0であるから, 定義域は実数全体。
ƒ'(x)=x²+a−(x−b)•2x
(x²+a)²
では, p.306の例題180同様, 端の値としてx → ±∞ のときの極限を調べ､極値と
また、関数 f(x) の定義域は実数全体であるから, 増減表から最大値・最小値を求める
==
x2-2bx-a=0
x²-2bx-a
(x²+a)²
X→∞
......
増減表は右のようになり limf(x)=0, lim f(x)=0
X→∞
a-b
a²+a
ゆえに, f(x) は x =αで最小値f(α),
f'(x)=0 とすると
①の判別式をDとすると
=(-6)²-1-(-a)=b²+a___$____
a>0であるから
b²+a>0
ゆえに
D>0
よって,方程式 ① は異なる2つの実数解 α, β(α<B) をもち, 解と係数の関係
a+β=26, aβ=-a
(2)
x=βで最大値f(β) をとる。
の最大値が
条件から
ƒ(a)=-
したがって2a-26=-a²-a,
② により, a, b を消去すると
2a-(a+B)=-a²+aß,
整理すると ²+(1-β)α-β=0,
よって
(a-B)(a+1)=0,
αキβであるから
ゆえに、②から
すなわち
11/13. f(B)=
2'
α=-1, β=3
2=26, -3=-d
a=3, b=1
β-6_1
=
B²+a 6
6β-66=β2+α
f'(x)
f(x)
(u) = "
68-3(a+B)=B²-aß
B2- ( 3+α)β+3α = 0
( β-α) (B-3)=0
<
uv-uv
2²
-
a
基本
αを
:
AB=
ABC
20 + 0
極小極
a
ZA
(*) 解と係数の
2次方程式
ax2+bx+c=0の??
解を α,β とすると
a+ß==
解
01
4/8=-
1
47
a
