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え方で表せ。
る△OAB
学Ⅰ)
う求める。
B
7
18
次の不等式を証明せよ。
ベクトルの不等式の証明 (1)
-lallbl sa b≤la|lb|
ANAL OF
>> (1) 内積の定義a.b= a||6|cos0 (0) は, ものなす角)において、-1≦cos0≦1で
あることを利用。 ベクトルの大きさについて |≧0であることに注意する。
まず、16116を示す。左辺、右辺とも以上であるから、
A≧0, B≧0のとき A≦B⇔A'sB
[1] = 0 または T=1のとき
46=0 ||||=0 であるから
であることを利用し, la +6≦ (la +16) を示す。(右辺) (左辺)≧0を示す過程で
は,(1) の結果も利用する。
次に,|a|-|6|≦a +6 | の証明については,先に示した不等式 la +6≦la | + 16 | を利
JIAH
用する。
43-713, 2011 17:54
(2) lal-lolsá+b|≤|a|+|b|
-|a||5|=a・1=|a||8|=0
かつちのときab=
[2] ¥0 かつ 0 のとき
a 1のなす角を0とすると +601810-15-4
a b=alb|cos
0°180°より, -1≦cos≦1であるから
-lä|||≤|a||b|cos 0≤|a|||
①から
-la||b|≤a·b≤|a||b|
[1]. [2] 5-lab≤ä·b≤ä||b|
(2) (lal+16)²-la+b1²
(2x = lal²+2|ā||b|+|bľ² − (lä ³²+2à·6+161²)
12=2(|||b|-à-b) ≥0
ゆえに
10 +16 ≧0.1 +1≧0から
la+b≤(a+b))²
よって
ゆえに
②③から
|ã+b|≤|ā|+|ỗ| ·· 2
② において, a を at を 一言におき換えると
|a+b-b|≤|ã+b|+|-bl
+6 +161
asa
(3)
|a|-|b|≤|ã+6| 3216-
p.399 基本事項 ①
lal-bl≤la+b|släl+161
別解 (1) a=0のとき、明ら
かに成り立つ。 a=0のとき
ta+部 ≧0 すなわち
t²la²+2ta 6+16²20
A
はすべての実数tについて成
り立つから, (A の左辺) = 0
の判別式をDとすると,
a>0 より
D≦0
1/72=(62-1から
-|al|b|≤a-b≤|al|b|
125.21
検討
la +6 | <||+|6|は三角形
における性質「2辺の長さの
和は、他の1辺の長さより大
きい」 (数学A) をベクトル
で表現したものである。
B
a+b
M
126-1-102
A
b
|a+b|<|a|+|b|
OB<OA+AB
40g
