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例題
2 ベクトルの内積
(597)
C1-29
C1.18 三角形の形状
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AB・BC=BC・CA=CA・AB を満たす △ABC はどのような三角形か
右の図のような位置関係になるので、
考え方 △ABC の各辺のベクトルを考えると、BA
AB+BC+CA=
が成り立つ.
AB
DA 0
このことを利用すると, 与えられた式
からベクトルを1つ消去することがで
A CA
きる.
BC
このとき、2つのベクトルの内積が式の中に出てくるが, 内積は、
alalocose に対し
「解答
か考えてみる。
であるので, ベクトルの大きさや2つのベクトルのなす角の情報が式の中からわかる
AB=a, BC=CA=cとする。
与式は, a·b=b.c=c.a 1 と表せる.
30 AB+BC+CA=0+0=10S-AO) S-10-LAO
a+b+c=0
これより,b=-a-v
5=-202
これを①のabcに代入すると
-lal²-a c=-a c-1c110AO LAST
したがって, |a|=12より
ベクトルを1つ消去
第10
a=c
③
同様にして,①,②より、16=
③④より
4
12=16 を代入
よって, △ABCは正三角形
a・b=ca に
18124
DA
(別解) AB-BC=BC・CA より
BC・(AB-CA)=0
BC=BA +AC= (AB + CA) だから,
(S)
ー(AB+CA)(AB-CA) =0 より
したがって, AB=CAル同様にして,
よって, AB=BC=CA だから,
|AB|=|CA|2
BC=AB
だから ABCは正三角形
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Focus
三角形の形状決定は、辺の長さや角の大きさに持ち込む
形状は、辺の長さや角の大きさに持ち込む
ANJU 0-50+80+ AON
(s) .1****
80134
12.
(0)
中心にABCが内接している
