基礎問
186
113 重複組合せ
区別のつかない球5個を A, B, C 3つの箱に入れる.
(1) どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか.
(2) 1個も入っていない箱があってもよいとすれば,何通りの方
法があるか.
精講
A,B,Cの箱に,それぞれ個, y個,2個入るとすると, (1),(2)は,それ
ぞれ,次の方程式の解 (x,y,z) の組の数を求めることと同じになります。
(1) x+y+z=5 (x≧1,y≧1,2≧1 )
(2)x+y+z=5 (x≧0、y≧0,z≧0 )
解答では,まず拾い上げてみて, あとで計算による解法を考えてみましょう.
(2)
解答
A, B, Cの箱にそれぞれ, x個, y 個,2個入るとする.
(1)x+y+z=5 (x≧1, y≧1, z≧1)
x=1, 2,3 だから, (x,y,z) の組は次表のようになる.
xC
第6章 順列・組合せ
y
20
IC
8
1万円札が5枚あるとき (これらは区別がつきません),どの1万円
札がほしいという人はいません。 何枚ほしいというはずです。だか
ら,区別がつかない球のときは個数で考えます。
y
1 1 1 2 2 3
1 2
3 2 1 2 1 1
3 1 2 1 よって, 6通り
98 基準をもって数
え上げる
x+y+z=5 (x≥0, y≥0, z≥0)
0
0 0 0 0 0 11111 2 22 2 3 3 3 4 4 5
20123450123401230 12010
5 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 3 210 210 100
2
よって 21 通り
注
この問題のように,変数に関して条件が同じ(このことをx,y,z
は対称性があるといいます) であれば,次のように大小を仮定して数
えて,あとで並べ方を考える方がラクです.
