(2)の解説の5行目の「n>=2のとき」を書くのはシグマを使うからだと思いますが、6行目の式の、第1、2項はn=0、1の時とも言えると思うので、 「n>=2のとき」は6行目と7行目の後に入れてしまいました。 なぜ解答は5行目に「n>=2のとき」を入れているんでしょうか。

● 13 奇隅で形が異なる漸化式 次のように定められた数列がある. n+1 n a1=1, an+1=an+ (n=1, 3, 5, ...), an+1=an+- (n=2, 4, 6, ...) 2 (1) a2=,ag= a6= □, a7= である. (2) a39= a40= である. (3) 初項から第40項までの和は である. (明大・農) a3, ...... 奇偶で形が異なる漸化式 nの奇偶で形が異なる漸化式は, n=2k-1, n=2kとおいて, 奇数項 (41, ･････) どうしに成り立つ漸化式, つまり2k+1を2-1で表す式を立てて解き、もとの漸化式に戻っ て a2k を求める. 解答量 (1) a1=1より, a2=a+ -=2,α3=az+- 1+1 2 2 23, 3+1 2 a=a3+ -=5,25=a4+ -=7, a6=a5+ 4 2 5+1 2 =10,α=46+ (2) n=2k-1のとき a(2k-1)+1=a2k-1+ (2k-1)+1 2 1つすすめ 2k 2 n=2kのとき,2k+1=a2k+ =a2k+k a2k=a2k-1+k ①,②より, a2k+1=a2k+k=(azk-1+k)+k=a2k-1+2k n≧2のとき an-1=a1+(a-a1)+(α5-a3)+... + (azn-1-42n-3) =a1+a2+1-28-1)=1+2k=1+2.12 (n-1)n =n2-n+1(n=1のときもこれでよい ) 62 =13 ① から, a2= an-1+n=n2+1 ③ ④ n=20として,α39=202-20+1=381, a=202+1=401 (3) ③ ④ より 20 n=1 20 (azn-1+azn)=2(2m²-n+2) n=1 =2· ・20・21・41- 1.41-1/20 -・20・21+2・20=5570 1 3 奇数項についての漸化式を立て て奇数項を求める. 偶数項は奇 数項からすぐに分かるので, 偶数 項についての漸化式は立てる必 要はない. a=na k=1

どなたか3️⃣と4️⃣教えていただけませんか😭仮定法です😭😭

T246 T247 とがあれば 話し手の判断 T248 T249 T250 T251 T252 過去完了] 仮定法 ] S EXERCISE (26) 1 意味の通る英文になるように,[] の語句を並べかえて全文を書きなさい。 T254 T255 T256 (1) [ change / should / he / his plans / if J, he would tell us.. tury foods of monob off (2) [were/travel/to/ you / if] around the world, where would you go first? MIT installo shit toven i (3) [learn/if / to / my father / this / were / about J, he would be angry at me.wat (4) [ miss/ should/I/ this train / if ], I would be late for school. 次の英文を日本語にしなさい。 (1) Were I your mother, I would say the same thing to you.. (2) But for your advice, we would have lost the final match. that for hib M 18+ on D 「 (3) I went to the station by bike; otherwise I would have missed the train. dband blios 10 baum lelas of notally vud of smil aluil bed I (4) To talk with Nancy, you would realize that she is very friendly. beband shashate wet ①. se that she is 3 各組の英文がほぼ同じ意味になるように,( )に適切な語を入れなさい (1) (a) Were I you, I would apologize to Nick. (b) If ( ( ( mable ), I would apologize to Nick. Tim now. ) ( ho) that train, we would have gotten there in time. ) this river, they couldn't grow rice. (2) (a) Had we caught that train, we would have gotten there in time. Ins (b) If ( ) ( (3) (a) But for this river, they couldn't grow rice. (b) If it ( ) ( ) ( 4 日本語の意味に合うように,( )に適切な語を入れなさい。momari io lo dok (1) もう彼らは決心してもよいころだ。 ) they ( ) up their minds. d inoriw au etieiv ryanoh (2)もっと時間があれば、私たちのチームは準決勝で勝てたのに。 Tol suzunufo It's ( ) more time, our team ( (3) それが本当だったらなあ! If ( ) it ( ) true! 日本語の意味に合うように、英文を作りなさい。 )( )( ) the semifinal match. 00 regras >] stup 91 mam ar to no TRY A: (そろそろ寝る時間ですよ) B: Ican't. This game is too interesting!

解答とは違う解き方で解きましたが、(2)の答えが合いません。×2が足りないそうですが、どこで間違えたのでしょうか。

92項間漸化式/an+1=pan+f(n) - 次の式で定められる数列の一般項 4 を求めよ. (1) a=1, n+1=20n+n (n=1,2,3, ...) (2) a1=4,n+1=40-2"+1 (n=1, 2, 3, ...) (弘前大・理工-後) (信州大工) 型の漸化式を解く 2項間漸化式の解き方 an+1=pan+f(n) (p=0.1:f(n)はnの式) には、変形して+1+g(n+1)=plan+g(n)}となるようなg(n) を見つけて, {an+g(n)}が等比 数列になることを用いればよい (i) f(n)がnの多項式の場合,g(n)もf(n)と次数が等しいnの多項式である。g(n)の係数を 未知数とおいて,☆より係数を求めればよい。 特にf (n) が定数の場合は前頁で扱った. (ii) f(n)=Aq" (g≠p, A は定数) の場合,g(n)=Bg”として, が成り立つように定数Bを定め an+1 an ればよい.また,an+1= pan+Ag" の両辺を"+1で割って, +A p" +1 (2)². ここで, an A bn とおいて, bm+1=bn+ として階差型の解き方 (前頁)に持ち込む手でもよい。 P 解答 (1) an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B) を満たす A, B を求める. an+1=2an+An+B-A と条件式を比べて, A = 1, B-A=0 :.B=1 an+1+(n+1)+1=2(a+n+1)より,{an+n+1}は公比2の等比数列. よって, an+n+1=2"-1 (Q1+1+1)=3·2"-1 .. an=3.2"-1-n-1 左辺はA(n+1) になることに注 意. (2) +1=44-2n+1 を 4n+1で割って an+1 an 1+1 4n+1 an 4" 2 \+1 == 4" bm=211 とおくと, b1=41=1,n+1=bn-(12)となるので2のとき 【 (2) の別アプローチ】 f(n) が Ag” の形の場合は、両辺 を Q"+1 で割ると, 典型的な2項 間漸化式に帰着されることに着 目. 漸化式を 2 +1 で割って, 1 \n-1 -1 bm=b1+2(bk+1-bh)=1- k=1 -1- 12/12(1/2)-1/12+(1/1) n-3 1+1 2 an+1 an ・=2. =1- -1 2"+1 2" 11-113 an 2" Cn= とおくと, C+1=2cm-1. (n=1のときもこれでよい) これから解く. よって,=40=4 =4*{/12+(1/2)"} =2.4"-1+2" 【別解】 (2) an+1+A.2"+1=4(an+A2") を満たす A を求める. an+1=40+4A2"-A2n+1=40+A2"+1 と条件式を比べて, A=1. an+1-2n+1=4(an-2")より, {4-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1(α1-21)=2.4-1 . 9 演習題(解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項4 を求めよ. an=2.4"-1+2" (1) 41=2,4+1=3an+2n2-2n-1 (n≧1) (2) α=1,n+1-20万=n.2n+1 (n≧1) (岐阜大) (日本獣医畜産大) (1), (3) an+1+f(n+1) =k(a+f(n)) となる (日)を探す

解答の(ⅱ)の8行目に出てきた3(k+1)/[(k+1)+2] についてです。この式を持ち出す理由を考えてみましたが、実際のところどうなのでしょうか。 (理由) (ⅱ)の5行目〜6行目にある不等式の右辺ではk+2をkやk+1で表したいため、右辺よりも同じか小さい値の式を ... 続きを読む

★ A 6 nを自然数とするとき,次の不等式を数学的帰 納法により証明せよ。 (1)/1/3+/1/2+1/+ + 3n ≥ n n+2

(1)の解説の2行目で、なぜa1が正とわかっているのに、両辺をa1で割らないのですか？ また(2)の解説6、7行目「a_n>0より…」では、 a_nが正であることから、両辺をa_nで割ってますが、 なぜこちらは両辺をa_nで割って良いのですか。 この違いはなんですか？

3 A 正の数の数列{an}について (1 + a2 + a3 + +an)2 3 3 3 =a1+a2+a3+... +an が成り立っているとする。 (1) 1, 2, a3 を求めよ。 (2)an の一般項をnの式で表せ。 3 .....1 (n=1,2,3,...) 1

a_(n+1)の式をnだけで表せるのかを考えてみたのが2枚目です。これはnだけの式になくたと言えるのでしょうか。 また解答(三枚目)はn=k+4のときから考えていますが、どのようにしてk+4から考えると分かるのでしょうか。

A 4 nが4の倍数でない自然数のとき, 1" + 2" + 3" +4 は10の倍数であることを, n=kのと きを仮定して, n=k+4で成立することを示すことによ り,数学的帰納法で証明せよ。

平方完成の問題です。YouTubeで見ながら解いたんですけど合ってますか？間違ってたら解き方を教えてください🙏

y= -2x²+4x+3 =2(x²-2x) +3 = 2(x-1)² -2+3 =2(x-1)²+1

(3)を解いてみましたが、答えが違いました。どこで間違えたのでしょうか。 また、(-2/3)^(n-1)の場合、マイナスは偶数乗か奇数乗かが固定されていないと、括弧の外に出せないという考え方であっていますか？

10 和と一般項の関係, 3 項間漸化式 - 数列{an}が, a=-1,22ar=3an+1-24-1 (n=1, 2, 3, ...)を満たすとき, (1) az を求めよ. (2) 3an+2-70n+1+20m=0を示せ. (3) am を求めよ. an=S-S1 (山形大工/一部省略) S” を含む漸化式は, 「an=S-S-1 (n≧2)」......☆を用いて, S を消去し,4 だけの漸化式に直す. ☆は一般にはn≧2のときのみに通用することに注意 (n=1 とするとn-1=0 になってしまう!). n=1のときは, α = S」 を用いる。 an+2+pan+1+gan=0 an+2+pan+1+ga=0の一般項を求めるには,r' + pr+g=0の解α,βを 用いる. 解と係数の関係より, か=-(a+β), q=aB. よって, an+2-(a+β)an+1+αBa=0. これを an+2-αan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=α (an+1-Ba) と変形する. α=βのときは,an+2-αan+1=α (an+1-αan)より, an+1-4a=an-1 (a2-aa)として, an+1=αan+san-1 (s=az-aa1). これをα+1で割り, bn=alα" とおくと {bm} は等差数列になる. 解答 Sn=ax とおくと,2S=3an+1-24-1 (1) ① n=1 とすると, 2S1=3a2-241-1 S=q=-1だから, -2=3a2+2-1 ∴. a2=-1 (2) ①のnをn +1 にすると, 2Sn+1=3an+2-2an+1-1 ②-①より, 20+1=34n+2-34n+1-2an+1 +2an :.34n+2-7an+1+2an=0 (3) (2)より, an+2 7 2 13an+1+1/30m=0 [右の傍注に注意し] ③を変形して 1 an+2-24n+1=1/22 (an+1-2an) ④, an+2 (ant1-20),ant2-1/30nt1-2 (0mts-1230円) \1 1\n-1 an+1- ←S+1-Sn=an+1 7 ③ rr+ x+2=0の解 --- 3 (2) (11/23)により ....5 1 x=2. 3 ⑥④より{an+1-2cm} は公比 1/3 の 等比数列. 2-1 ...... 7 a-(—)" (az−2a1) = ( )" (−1+2)=(3)- =(1/1) 3 ④より, an+1-2an= ⑤より, an+1一 an=2n-1 a2 12-130-20-(02/24)-20-1(-1+1/3)-(-/3/3) 2 =2" よって, 3 n-1 ・2"-1- 10 演習題 (解答は p.76) 2Sn2 数列{a} は,q=1, an= (n=2, 3, 4, ...) を満たす. 2Sn+1 ただし, Sn=a+az+... +an である. (1)a2 を求めよ. (2) SS-1 を用いて表せ. (3) S (2) 前文に反しか らを消去する. C (芝浦工大) (3) 11を参照。

2項間漸化式を目指して2枚目のように解きましたが、答えが違いました。なぜでしょうか。

92項間漸化式/an+1=pan+f(n)- 次の式で定められる数列の一般項 αを求めよ. (1) 1=1, m+1=20n+n (n=1, 2, 3, ...) (2) a1=4, n+1=40-2n+1 (n=1, 2, 3, ...) (弘前大・理工-後) (信州大工) 2項間漸化式の解き方 an+1=pan+f(n) (p=0.1f(n)はnの式)……型の漸化式を解く には,変形してan+1+g(n+1)=p{an+g(n)}となるようなg(n)を見つけて,{an+g(n)}が等比 数列になることを用いればよい. (i) f(n)がnの多項式の場合,g(n)もf(n) と次数が等しいnの多項式である。g(n)の係数を 未知数とおいて, ☆より係数を求めればよい。 特にf (n) が定数の場合は前頁で扱った。 (i) f(n)=Aq"(g=p, A は定数) の場合, g(n)=Bq"として,☆が成り立つように定数Bを定め an+1 an A ればよい.また, an+1= pan+Ag" の両辺を "+1で割って + pn+1 pn p 4(1). ここで. an ,= bn とおいて, bm+1=bn+ A n 9 として階差型の解き方 (前頁) に持ち込む手でもよい。 解答圜 p" (1) an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B) を満たす A, B を求める. an+1=2an+An+B-A と条件式を比べて, A=1,BA=0 ... B=1 an+1+(n+1)+1=2(a+n+1) より, {an+n+1}は公比2の等比数列 . .. an=3.2"-1-n-1 よって, an+n+1=2"-1 ( 41+1+1)=3・2n-1 (2) +1=4a-2n+1 を 4n+1で割って, An+1 an 1\n+1 4n+1 4m 2 an a1 1\n+1 bm- == 4" とおくと, b1=2=1, bn+1=bn- 2 となるので,n≧ 2 のとき, 1\n-1 1- 1k+1 =1- k=1 k=1 左辺は A (n+1) になることに注 意. 【 (2) の別アプローチ】 f (n) が Aq” の形の場合は、 を qn+1で割ると,典型的な2項 間漸化式に帰着されることに着 目. 漸化式を2+1で割って n-1 bn=b₁+ (b+1-br)=1—', =1/1/11(1/1)-1/2+(1/2)(n=1のときもこれでよい) よって、 2=4m {/12+(1/2)"}-2-4-1+2" 【別解】 (2) 4n+1+A.2n+1=4(an+A2") を満たす A を求める. an+1=4a+4A2"-A2"+1=4an+A2"+1 と条件式を比べて, A=-1. an+1-2n+1=4(an-2")より, {an-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1(α1-21)=2.4-1 ..an=2.4"-1+2" 9 演習題(解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項 n を求めよ. (1) 41=2,n+1=3an+2n2-2n-1 (n≧1) (2) a1=1,4n+1-2an=n.2n+1 (n≧1) (3) α1=1,n+1=2 1 ant an+1 an =2- 1 2"+1 2" an Cn= とおくと, C+1=2c-L 2" これから解く. (岐阜大) (日本獣医畜産大) (1), (3) an+1+f(n+1) =k(antf(")) となる f(n) を探す (2)階差に持ち込む n-1 (n≧1) n(n+1) (岐阜大 教後)

(イ)を2枚目のように、「2」を入れ忘れて、３項間漸化式で特性方程式が重解を持つ場合として、等比数列の形にして解きました。 このミスを正そうとして2を加えようと思いましたが、どこに加えればいいか分かりませんでした。そもそもこの考え方が違うのでしょうか。

漸化式典型的なタイプに帰着 -+1によって定義される数列{a} を考える. ここでbn= (ア)条件 α=2, an+1= an-l 3+an とおくとき,bn+1 を by を用いて表せ.また,{a} の一般項を求めよ. an-1 (東京経済大) (イ) 数列{a} を a=1, a2=2, a,+2-24n+1+an=2(n=1,2,3, …)によって定める. bn=an+1-an とおくとき, by をnの式で表せ。 また, annの式で表せ。 (工学院大 ) an+1=pan+α 型 an+1=pan+g(p, q は定数で, 0, 1) ...... ① に対して,a=pa+g...... ② を満たすように定数αを定め、 ①②よりan+1-α=p(an-α) これより{a-α}が公比』の等比数 列であることを用いて解く. n-1 an+1-an=f(n) 型 階差が分かっている数列の一般項は, 階差を足し上げて求める. n≧2のとき an=a1+(az-a)+(as-a2)+..+(an-an-1)=f(1)+(2)+f(n-1)=a+f(k) 上式はn≧2のとき通用する式で, n=1のとき成り立つか否かは確認が必要. 問題によっては, an-an-1=g(n)が分かっている場合もあり、 公式を丸暗記して適用するとミスしやすい. 上式のシグ マ記号の上下の数 (初めと終わり) は, そのつど具体的に確認しよう. 解答 + an-l (ア) an+1= 1 +1 ① 3+an bn= an-1 ( (1日)=1+( 1 bn+1= == an+1-1 1 an-1 3+an (an-1)+4 -=1+ an-1 an-1 4 an-1 =46+1 分数式は分子を低次に. 3+an :.bn+1=46+1 ... ......③ 1 :.bn+1+ =4b₂+ <>a=4a+1 1 ②より, a1=2のとき, b1=1. を満たすαは 3 {{+*} は公比4の等比数列であり,bn+1/2=4"-1 (01+1/2) An ③④より求める. b1+- 3 4"-1 bn= = ②より, an 3 1 bn +1= 3 4"-1 3 4"+2 3 +1= >± 9. an-1=1 4"-1 (イ) an+2-2an+1+an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=bn+1-b" が2なので, bnti bn+1-bn=2. また, b1=42-41=1 Pn よって,{bm}は初項 1, 公差2の等差数列で, b=1+2(n-1)=2n-1 2のとき、作品もん an=a1+(az-a)+(a3a2)+…+ ( an-an-1) =a+b1+b2+... +bn-1 =a+ b1+bn-1. 2 1+{2(n-1)-1} (n-1)=1+ 2 よって、求める式は,,=1+(n-1)²=n-2n+2 (n=1,2,3, ...) (n-1) (n=1でもOK) {6} は等差数列. その和は, (項数) (初項) + (末項) 2