基礎問
196 第7章 数
128 3項間漸化式
a=2, as=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an)
がある.
(1) Qn+2-Qan+1=β(an+1- can) をみたす2数α, B を求めよ。
(2) an を求めよ.
an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 f=pt+q の解をα, βとして,次の2つの場合があり
ます。
(I) α=β のとき
an+2=(a+β)an+1-aBan より
an+2-dan+1=B(an+1 - aan)
an+2-Ban+1=a(an+1 - Ban)
①より, 数列{an+1- dan} は,初項 α2-αa1, 公比βの等比数列を表すので
an+1-aan =β"-1(a2-aas)
......1'
......2'
精講
同様に,②より, an+1-Ban=an−1 (az-Bas)
①-②より,
(B-α) an=8-1 (a2-aas) a" (az-Bar)
B-1 (az-dai)-an-1 (az-Ba)
... an=
β-a
注実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数
列の性質を利用します. (本間がそうです)
(II) α=β のとき
an+2-αan+1=α(an+1-aan)
∴an+1-adn=an−1 (a2-aas)
つまり、数列{an+1-aan}は,初項 a2-aa1, 公比αの等比数列.
③ の両辺を α7+1 でわって
n≧2のとき,
よって,
an
n-1
k = 1 Q
ai
a
an+1
an
ak+1 ak
k+1
-=(n-1), a ₂-₁
1
n-1
an
a2aas
Q²
a₂-αa₁
q²
・③
