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第3章
47 軌跡(V)
mを実数とする.ry平面上の2直線
76
基礎問
基礎問
とは、入試
問題を言い
この「基礎
まとめてあり
について,次の問いに答えよ.
98
出題される
げ 教科書
■ 。 特に、
5/8
■アできる
mx-y=0.①
+m
x+my-2m-2=0
......②2
(1) ①,②はmの値にかかわらず,それぞれ定点 A,Bを通る。
A,Bの座標を求めよ.
○ (2) ① ②は直交することを示せ.
(3) ①②の交点の軌跡を求めよ.
一つのテー
ーマは原
やすくな
精講
(1) 「mの値にかかわらず」 とあるので,「mについて整理」して
mについての恒等式と考えます. (37)
(2) ②が 「y」 の形にできません. (36)
ことはないので(注), (0, 2)は含まれない.
よって、 求める軌跡は
O-8
円 (x-1)+(y-122 から, 点 (02)を除いたもの.
注 一般に,y=mx+n 型直線は, y 軸と平行な直線は表せません.
それは,yの頭に文字がないので,m,nにどんな数値を代入しても
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必ず残って,r=kの形にできないからです。 逆に,xの頭には文
字がついているので,m=0 を代入すれば,y=nという形にでき,
軸に平行な直線を表すことができます。
45 の要領で①,②の交点を求めてみると
参考
2 (1+m)
2m(1+m)
x=
1+m²
1+m²,y=
となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける
こともタイヘンです. もしも誘導がなければ次のような解答ができます. こ
aisons
れが普通の解答です.
x=0 のとき,①よりm=¥で割りたいの
(3) ①②の交点の座標を求めて, 45 のマネをするとかなり大変です
したがって,(1),(2)を利用することを考えます。このとき、4
IIIを忘れてはいけません.
IC
で≠0. r=0
②に代入して
y² 2y
-2=0
で場合分け
I
IC
解 答
:.x'+y2-2y-2x=0
.. (x-1)+(y-1)²=2
YA
2
(1)の値にかかわらずmx-y=0が成りたつとき, x=y=0
A(0, 0)
②より (y-2)m+(x-2)=0 だからy-2=0、x=0mについて整理
.. B(2, 2)
次に, x=0 のとき,①より,y=0
0
これを②に代入すると,m=-1 となり実数が存在するので
点 (0, 0) は適する.
以上のことより, ① ②の交点の軌跡は円 (x-1)+(y-1)²=2 から点
(0, 2) を除いたもの.
(2) m・1+(-1)・m=0 だから,
aia2+bib2=0
36
ポイント
①,②は直交する.
より, ∠APB=90°
(3)(1),(2)より ① ② の交点をPとすると ① 1 ②
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する
定点を通る2直線が直交しているとき, その交点は,
y
2
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
B
よって, (x-1)^2+(y-1)²=2
また,AB=2√2 より 半径は2
Bを直径の両端とする円周上にあるこの円の中
心は ABの中点で (11)
(1泊)
演習問題 47
0
A
2x
ここで,①はy軸と一致することはなく、 ②は直線 y=2 と一致する
tを実数とする. ry 平面上の2直線 l : tx-y=t,
m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ.
(1) tの値にかかわらず, 1, mはそれぞれ, 定点 A, B を通る.
A,Bの座標を求めよ.
(2), mの交点Pの軌跡を求めよ.
