重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3)
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方程式x+ (2-a)x+4-2a=0が1<x<1の範囲に少なくとも1つの
をもつような定数αの値の範囲を求めよ。
基本
指針 条件が｢-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに
大きく分けて次のA, B の2つの場合がある。
A-1<x<1の範囲に, 2つの解をもつ (重解は2つと考える)
® -1 <x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ
A [1]
方程式の2つの解をα, B(α≦β) として, それぞれの場合につ
+
a
いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。
®は以下の4つの場合がありうるので注意する。
® [2]
® [3]
-1<x
の範囲に
B [4]
a
+
B x
は
-1<x<1 の範囲に1つ、
<-1 または 1<x の範囲に1つ
+
x
& x-x-2=0 (x-21 (x + 1) = 0
α=-1
A
B=
+
-1 a
-1 B1x
x=-1と-1<x<1
の範囲に1つ
f(x)=x2+(2-α)x+4-2aとし, 2次方程式f(x)=0の
解答 判別式をDとする
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線
a-2
x=
である。
2
[1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条
件は, y=f(x) のグラフがx軸の-1<x<1の部分と異
なる2点で交わる, または接することである。
すなわち、次の (i)(iv) が同時に成り立つことである。
(1) D≥0 (Ⅱ) 軸が-1<x<1の範囲にある
(iii) f(-1)>0 (iv) f(1)>0
(i) D-(2-a)2-4.1.(4-2a)
=d+4a-12=(a+6)(a-2)
D≧0から (a+6)(a-2)≥0
a≤-6, 2≤a
ゆえに
a-2
(ii) x=
について
2
よって
-2<a-2<2
******
①
-1<a-2 <1
1
の範囲
2-a
x=-
2-1
条件は
「少なくとも1
であるから,
グラフがx軸
場合,すなわ
この場合も含まれ
[1]
軸
D=0
ゆえに 0<a<4
2
(i) f(-1)=-α+3であるから
よって
a<3
3.
-a+3>0
+
