二次関数、最大値最小値の場合分けがわからないです。座標だけはわかるのですが、どんなときに最大値で最小値かわかりません。

88 文字係数の2次関数の最大・最小 基本例題 56 aは定数とする。 関数 y=x2-2ax+α (0≦x≦2) の最大値、最小値を、 の各場合について, それぞれ求めよ。 (1) a≦0 (2) 0<a<1 (3) a=1 CHART OLUTION 解答 係数に文字を含む2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け まず,基本形にすると y=(x-a)²-a²+a このグラフの軸は直線 x=α で, 文字αを含んでいるから,αの値によって, 軸(グラフ)の位置が変わる。そこで、各場合についてそれぞれのグラフをかき 軸がどの位置にあるか確認する。 その際, 頂点と端点に注目する。 200 y=x2-2ax+a=(x-a)²-a²+a この関数のグラフは下に凸の放物線で、頂点は点 (a,d²+a), 軸は直線x=α である。 また (1) a≦0 のとき x=0のときy=a, x=2のときy=4-3a (1) ~ (5) のそれぞれの場合のグラフは、図のようになるから x=2で最大値4-3α x=0で最小値 α (2) 0<a<1のとき x=2で最大値 4-3a x=αで最小値-α²+α (3) α=1のとき x=0, 2 で最大値1 x=1 で最小値0 (4) 1<a<2のとき x=0 で最大値 α x=αで最小値-a²+α (5) α≧2 のとき x=0 で最大値 α x=2で最小値4-3α (1) 1p.84 基本事項 ②. 基本 54 (2) ¦ ye 4-3a a -a² + a O 4-3a a (4) 1<a<2 |y₁ a0 -Ta 1 2 2x (5) a≥2 7 x 基本形に直す。 定義域の中央はx=1 軸の位置は、それぞれ (1) 定義域の左外 (2) 定義域内の左寄り (3) 定義域内の中央 (4) 定義域内の右寄り (5) 定義域の右外

5️⃣（4）を補集合を用いないでとく方法はありますか？

子ども4人を1列に並べるとき、次のような並べ方は何通り あるか。ただし、途中式や説明等を含めて記述すること。 (9点) (1) 子どもが4人続いて並ぶ。 5!×4!=5×4×3×2×1×4×3×2×1 2680 (2) 両端が大人である。 2!×6=2×1×6×5×4×3×2×1 = 1440 26801 (3) 両端の少なくとも1人は子どもである。 1440通り 5 先生と生徒2人 (メタ君, セコイアさん) の3人の会話を読みながら, 次のアセには適当な数字を, A, B には適当な 四則演算子(+, -, X, ÷ ) を右の解答欄に答えよ。 ただしア セルには数字が一つずつ対応して入り、同じカタカナ の枠には同じ数字が入る。 (24点) メタ : 今週出された週末課題は中々難しかったな~。 セコ: あ ! 忘れてた! どんな問題だったっけ･･・。 先生 : 出された課題はきちんと取り組まないと力にならないよ。 今回は特別に問題をもう一度教えてあげよう。 2 問題 同じ大きさの6枚の正方形の板を1列に並べて下のような掲示板 を作りたい。 赤, 青,緑のペンキを用いて, 隣り合う正方形どおし が異なる色となるように,この掲示板を塗り分ける。 ただし塗り 分ける際は、 すべてのペンキの色を使わなくてもよい｡ (1) 塗り方は全部で何通りあるか。 _2) 赤色に塗られる正方形が3枚あるのは何通りか。 3) 赤色に塗られる正方形が1枚あるのは何通りか。 日) 赤色に塗られる正方形が2枚あるのは何通りか。 メタ:このような問題はそれぞれの板の塗り方が何通りずつあるかを 考えていくのがポイントになるよね! 先生:その通りです。 今回は板に左から a,b,c,d,e, fと名前を付けて 考えるといいよ。では(1)の問題から解いていこう。 36 96 19 a b ク ① ク ① : a I 1 1 セコ:まずαの板を塗る塗り方は｢ア通りあるね。 同様にbfの 板の塗り方を考えていけば,塗り方は全部でイウ通りあるね。 メタ:そうだよね! 続いて(2)は通りあるね 先生 素晴らしい! () セコ : (3)は 赤色をどの板に塗るかによって複数の場合に分けられるね。 まずαの板が赤色に塗られる場合はカ通りあるわ。 d f 次にの板が赤色に塗られる場合はキ通りあるよね。 01 (2) 次にcの板が赤色に塗られる場合は･･･。 メタ ちょっと待って!cの板が赤色に塗られる場合は, 20 クの板が赤色に塗られる場合と同じ考え方で求められるよね。 ~ メタ君, セコイアさ A X 8 5 同じようにd,e, f の板が赤色に塗られる場合は, またはbの板が赤色に塗られる場合と同じ考え方になるよ。 セコ: 本当だ!じゃあカ通りになるのは全部でケパターンあり、 CHRITTSAG キ通りになるのは全部でコパターンあるってことか!入 だから(3) の答えは, hod(s) (① A ケ B キャ A コ=サン通りだ。 メタ : それにしても (4) は場合分けが大変だ… 先生 (4) は複数の場合に分けて考えることも可能だけれど、 今まで 求めてきた(1)~(3)の答えを活用して考えることもできるよ。 「補集合」 を利用する。 これがヒントだよ。 セコ: なるほど! 考えてみます! メタセコ : (4) の答えはスセ通りになります!Aパパが 先生:正解です!2人ともよく頑張ったね! 2 サ C 2 12 HOT 中~ 6 2 160% 8 688 4774 ħ + 2 ス 4 9 B 26 3 34 IWN-m-8 87 0 87 17 問題は 1

⑵の問題についてです 参考書の解答が分からなかったので自分なりに解いてみましたが、解答はこれでも合ってますか？ 何も文章とか書いてないので、付け足した方がいいところなどがあったら教えて下さい よろしくお願いします

Condu VAGOAT-/ 114 重要 例題 68 定義域によって式が異なる関数 (2) 関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると き,次の関数のグラフをかけ。 (1) y=f(x) (2) y=f(f(x)) 解答 (1) グラフは 図 (1)。 (2f(x) (0≤ f(x) <2) (2) f(f(x))= [8-2f(x) (2≦f(x)≦4) X001 指針>定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。 (2) f(f(x)) f(x)のxにf(x) を代入した式で, 0≦f(x)<2のとき 2f(x), (1) のグラフにおいて, f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x) 4 となるxの範囲を見 極めて場合分けをする。 よって, (1) のグラフから 0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x 1 1 T 1 1≦x<2のとき f(f(x))=8-2f(x)=8-2・2x=8-4x 2≦x≦3のとき f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8 3<x≦4のとき f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)=16-4x よって, グラフは図 ( 2 ) 。 (1) O 1 2 3 4 x (2) 4 f(x)={ 2≦f(x)≦4のとき 8-2f(x) 0 1234 x [参考] (2)のグラフは,式の意味を考える方法でかくこともできる。 [1] f(x) が2未満なら2倍する。 E 18-2x (2≦x [2] f(x) が2以上 4以下なら, 8から2倍を引く。 [右図で、黒の太線・細線部分がy=f(x), 赤の実線部分が y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x) f(x) の 合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学ⅢIで学ぶ)。 0000 ■変域ごとにグラフをかく。 (1) のグラフから, f(x)の 変域は YA 2 0 0≦x<1のとき 0≤ f(x) <2 1≦x≦3のとき 2≤ f(x) ≤4 3<x≦4のとき 0≦f(x)<2 また,1≦x≦3のとき f(x) の式は 1≦x<2なら f(x)=2x 2≦x≦3ならf(x)=8-2x のように,2を境にして式 が異なるため, (2) は左の解 答のような合計4通りの場 合分けが必要になってくる｡ 9 2 2倍する 8から2倍を 引く 2

EX76の問題を標問135の研究と同じ解き方で、3x+2y=6nを両辺6で割ってx/2+y/3=nになってx=2k、x=2k-1で場合分けして解くことはできますか。

無問 135 格子点の個数 I, y, z を整数とするとき, ry平面上の点(x,y) を2次元格子点, TYz 空 間内の点(x,y,z) を3次元格子点という.m,nを0以上の整数とすると き,次の問いに答えよ. (1) 2012/21/ysm をみたす 2次元格子点(x,y) の総数 + を求めよ. (2) x0,y0,z≧0かつ 1/3+1/13y+zan をみたす 3次元格子点 (x,y,z) の総数を求めよ. (名古屋市立大 ) ・精講 (1) 格子点をどう数えるかが問題で す。研究でx=(一定) となる直 線上の格子点を順次数えてみましたが, 大変です. そこで合同な三角形を付け足して長方形にしてみ たらどうでしょう. (2) z=(一定)となる平面による切り口を考え ると (1) が利用できます。 〈解答 (1) 0(0,0),A(3m, 0), B(3m, 5m),C(0, 5m) とおくと, 与えられた領域は △OACの周および内部である. △OAC≡△BCA であり,線分 AC 上には (0, 5m), (3, 5(m−1)), (6, 5(m-2)), ···, (3m, 0) のm+1個の格子点がある. =1/12 (15) 1 (2) ²/3x+//y+z<n & {√x+} {y≤n-z 求める2次元格子点の総数Sは, 長方形 OABC の周および 内部にある2次元格子点の総数を T, 対角線AC上の2次元格 子点の総数をLとおくと 0 S=1/12(T_L)+L=1/12(3m+1)(5m+1)-(m+1)}+(m+1) -(15m²+9m+2) 解法のプロセス (1) 三角形内の格子点の総数 ↓ 長方形を考える (2) z=(一定) 平面による切 り口を考える と変形する. z(z=n,n-1, n-2, ..., 0) を固定し, 303 3n x n y+ 5mm 0 -n-m B 3m HA IC 5n 第8章

線を引いたところがなぜそうなるのか教えてください。

【4】 〃を3以上の整数とする. n進法で2022 ) と表される整数をaとし, aと3000 () の最大公約数をg とする. 次の問いに答えよ. (1) n=3のときのαとを求め, 10進法で答えよ. (2) に対して,αを5で割ったときの余りを求めよ. (3)各ぇに対して, g の値を求めよ.

3番の問題は和の公式を使わなければ場合分けはしなくて良いのですか？

(2) 初項が2,公比が 3, 和が242である等比数列の項数を求めよ。 (1) 公比が3,初項から第6項までの和が728 の等比数列の初項を求めよ。 和をSとすると, S3 = 3, S6=27 であった。 このときa, rの値を求めよ。 [(3) 大阪工大] p.365 基本事項 3 基本11 (3) 初項a,公比rがともに実数の等比数列について,初項から第n項までの CHART & SOLUTION 等比数列の決定 まず初項 αと公比r (3) の値が与えられていないので, 和の公式を使うとき,r=1 と r≠1 に分けて考える (1),(2),(3) 和が与えられた問題では, 項数nについても考える。 必要がある。 開 (1) 初項をaとすると,条件から よって, α(1-729)=4･728 から r≠1のとき, S3=3 から a{1-(−3)} 1-(-3)。 (2) 項数をnとすると,条件から ゆえに 3-1=242 したがって, 項数は n=5 (3) r=1のとき S3=3a, S6=6a 3a=3,6a=27 を同時に満たすαは存在しないから不適。 3101534 PRACT LEDS a=-4 2(3-1) 3-1 a = すなわち a(r³--1) r-1 -=728 -=242 =3 .P¶ "(x + a(rº_1)__LA また, S6=27 から = 27 19 7-1-17 E r°−1=(r3)2−1=(n-1)(n+1) であるから、②より 3"=35 „§ (= a(r³−1).(√³+1)=27 r-1 これに ① を代入すると 3 (3+1)=27で解くと、 よって r3=8 rは実数であるから 3 r=2, ① から 7 ...... (1) 公比 - 3 項数 n=6の等比数列の和が 728 である。 Sn=a(²-1) r-1 ← 243 = 35 等比数列の和の公式を 使うときは,まず,公比 rが1であるかどうか を調べる｡ St. a(³-1) r-1 369 の 17a=3 -·(³+1)=27 に3を代入。

(3)についてです。2枚目が回答なのですが、なぜこのような場合分けになるのか教えてください🙇‍♀️

演習問題 25 y=-|x-2|+3･･････①について,次の問いに答えよ. x ①のグラフをかけ. (2) ①-1≦x≦3 に対する値域を求めよ. a,bをa<2<b をみたす定数とする. このとき, a≦x≦b に対する値域が 2-a≦y≦b となるような α, もの値を求めよ.

2枚目が回答なのですが、なぜこのような場合分けになるのか教えてください🙇‍♂️

問題 25 x y=-|x-2|+3･･････ ① について,次の問いに答えよ. ①のグラフをかけ. ①-1≦x≦3 に対する値域を求めよ. α, b を a < 2 < b をみたす定数とする. このとき, a≦x≦b に対する値域が 2-a≦y≦b となるようなα, 6の値を求めよ. (2)

2枚目が回答なのですがなぜこのような場合分けをするのかが分かりません。(|A|の場合分けにA ≦0がないのにa+3 ≦0がでてきたりする意味が分かりません)絶対値をひとつずつ場合分けして3枚目のようにしたらだめなのでしょうか？？

10**D CON So Rabo alter 85 23 x=a²+9とし, y=√x-6a-√x+6α とする。 yを簡単にすると(1) のとき、y=, a≦-ｱ a≧ y = 1,-□≦a≦ のとき, y=となる。 のとき, 5 [摂南大] 94. →25

1枚目の赤丸で囲ってあるグラフは2枚目のようなグラフの書き方でも大丈夫ですか？

134 基本例題 81 最大値、最小値を関数ととらえる問題 する。このとき, m (a) の最大値とそのときのαの値を求めよ。 解答 関数の式を変形すると f(x)=(x-a)^-a²+2a y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=α [[1] 0<a≦2のとき 図 [1] から, x=αで最小となる。 最小値は f(a)=-a²+2a のとる値によって輪の 指針関数のグラフ(下に凸の放物線)の軸は直線x=a であるが, a が変わる。最小値を考えるから、軸=aと区間 0≦x≦2の位置関係を調べる。 本間では、a>0であるから、軸が区間の内、右外の場合に分けて考える 場合分けされたaの値の範囲で求めたm(α) に対し, b=m(a) のグラフを考えることで、 m (a) の最大値を求める。 [2] α>2のとき 図 [2] から x=2で最小となる。 最小値は f(2)=2a+4 [1] [2] から 最小 x=0_x=ax=2 [2] |軸 T 最小 x=0_x=2 x=a -a²+2a (0<a≤2) -2a+4 (a>2) -a²+2a=-(a−1)²+1 m(a)= [ 富山県大〕 b=m(a) とすると, そのグ 右の図の実線部分のようにな てm(a) は α=1で最大 る。 146 m(a) ■まず,基本形に直す。 atr 軸が区間の内 a>0であるから、軸が区 間の左外は調べなくてよい 軸が区間の右外 基本 (1) B 定め (2) 1 の 指針 0<a≦2において b=m(g)のグラスは [CH 解 (1) (2