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t)(x-t)
その
鹿児島大
演習 223
道 219 参照。
すると
き, t = 0, [u [の]
~極大,他方で引
のとき
ると
3
演習 例題225 不等式が常に成り立つ条件(微分利用)
0000
aは定数とする。 x≧0 において,常に不等式 x-3ax²+4a>0が成り立つよう
にaの値の範囲を定めよ。
のとき
指針f(x)=x-3ax2+4aとして,
検討参照。 [1] 2a < 0 すなわちα<0のとき
(神号同側)
[x≧0 における f(x) の最小値] > 0
となる条件を求める。
導関数を求め,f'(x)=0 とすると x=0, 2a
02a の大小関係によって, f(x) の増減は異なる
から 場合分けをして考える。
解答
f(x)=x-3ax2+4a とすると
f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a)
.........
f(x)=0 とすると
x=0, 2a
求める条件は,次のことを満たすαの値の範囲である。
「x≧0 におけるf(x) の最小値が正である」 ・・・ (1)
①を満たすための条件は
x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよう
になる。
① を満たすための条件は
したがって a>0
これはα<0に適さない。
[2] 2a=0 すなわち α = 0 のとき
f'(x)=3x2≧0, f(x)は常に単調に増加する。
f(0) = 4a>0
4a>0
よって
a>0
[ [3] 20 すなわちa>0のとき
x≧0 におけるf(x) の増減
表は右のようになる。
①を満たすための条件は
-4a³+4a>0
これはα=0 に適さない。
20
f'(x)
f(x) 4a
-4a(a+1)(a-1)>0
a(a+1)(a-1) <0
a<-1,0<a<1
ゆえに
よって
これを解くと
0<a<1
a> 0 を満たすものは
[1]~[3] から,求めるαの値の範囲は
2a<0
x 0
f'(x)
+
f(x) 4a >
2a
0
-4a³+4a
0<a< 1
1
/1
NJ
2a0x
+
2a=0
242x-x 16 がx≧0 に対して常に成り立つ
- -1
[注意] 左の解答では,
[1] 2a<0, [2] 2a=0,
[3] 2a>0 の3つの場合に
分けているが, [1] と[2] を
まとめ, 2a≦0, 2a>0 の場
合に分けてもよい。
なぜなら, 2a≦0のとき,
x≧0では f'(x)≧0
であるから, x≧0でf(x) は
単調に増加する。
ゆえに,x≧0 での最小値は
f(0) =4a である。 実際に左
の解答 [1] と [2] を見てみ
ると,同じことを考えている
のがわかる。
+
a (a+1)(a-1)の符号
0
基本220
< a>0のとき
a(a+1)>0
0<2a
02ax
ゆえに a-1 <0
としてもよい。
1 a
343
638 関連発展問題
6章
