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基本 例題 5
二項定理を利用する式の値
00000
次の値を求めよ。
(1) Co+nCi+nCz++nCy+....+nCn
(2) Co-Ci+nCz-......+(-1)',,+……………+(-1)*, Cn
(3)
Co-2mCi+22C2+(-2) nCr++(-2)"nCn
CHART & SOLUTION
C に関する式の値
(1)
p.12 基本事項 4
二項定理 (a+b)"="Coa"+nCia"-16+nCza"-262+…+nCra"-"b'+..+nCrb"
の等式に適当な値を代入
二項定理と似た問題ととらえて、結果を使うことにする。
二項定理において, a=1, b=x とおいた次の等式
(1+x)"="Co+nCix+nCzx2+....+x+......+nCnxn
をスタートにして、この式の右辺のxにどんな値を代入すると与えられた式になるかを考
える。
二項定理により
(1+x)"=,Co+,Cix+,Cax2+......
+nCrx+......+nCnx"
①
(1) 等式① に,x=1 を代入すると
(1+1)=nCo+zC1・1+nCz・12+......+nCr・1'
よって
+....+nCz・1"
nCo+nCi+nCz+••••••••••+nCn=2"
(2)等式①に,x=-1 を代入すると
(1-1)=nCo+nC1・(-1)+nCz・(−1)2++nCy.(-1)
+....+nCz(-1)”
①の "Crx"が"Cr とな
ればよいから, x=1 を
代入する。
この等式については,
p.193 を参照。
①の"Crxが(-1)'nCr
となればよいから,
x=-1 を代入する。
よって
nCo-nCi+nCz-.......
.+(-1)'nCr
+......+(-1)",Cn=0
(3) 等式① に,x=-2 を代入すると
+....+nCz・(-2)"
(1-2)"=mCo+mC1・(-2)+nCz・(-2)2++nCr. (-2)"
←①の"Crx”が
(-2) Cr となればよい
から x=-2 を代入す
る。
よって
nCo-2nCi+22mC2+(-2)'nCr
+....+(-2)"nCn=(-1)"
PRACTICE 5º
ConCi+mC2
2 22
2"
・+(-1)" " の値を求めよ。
