重要 例題 110
特別な角の三角比
00000
頂角Aが36°, BC=1の二等辺三角形ABC がある。 この三角
形の底角Cの二等分線と辺AB との交点をDとする。
36°
(1) 線分 DB, ACの長さを求めよ。
D
(2)(1)の結果を用いて, cos36° の値を求めよ。
[類 神戸学院大 ]
基本106
B
1
C
CHART & SOLUTION
(1) 図をかいて角の大きさを調べると,△ABC ACDB (2角が等しい) がわかる。
DB=x とおき, 相似な三角形の辺の比を利用して方程式を作る。
(2) cos 36° の値を求めるから, 36° の内角をもつ直角三角形を作る。
(1) ∠ACB=(180°-36°+2=72° であるから
∠DCB=72°÷2=36°
△ABCと△CDB において
∠BAC = ∠DCB=36°, ∠ACB=∠CBD=72°
(1)
D
136
よって
AABCOACH
BC DB
から
72
B 1 C
BC・CD=ABDB
AB CD
AD=CD=BC=1 であり, DB=x とおくと
AB=AD+DB=1+x であるから,①は
12=(1+x)x
よって
これを解いて x=-1±√5
①
相似な三角形を抜き出すと
考えやすい。
x²+x-1=0
1+x
1+x
S
2
1
1
x>0 であるからx=
-1+√√5
すなわち DB=
√√5-1
B 1
C
D x B
2
2
√5+1
また
AC=AB=1+x=-
2
(1)から
(2) 辺AC の中点をEとすると, △DCA は二等辺三角形
であるから DELAC
AD=1, AE=/12AC-15+1
(2)
E
D
2
4
AE
√5+1
よって
cos 36°=
AD
4
B
C
15°
45
RACTICE 110
右の図を利用して、次の値を求めよ。
sin 15°, cos 15°,
45°
B
tan 15°
D
sin 75°,
cos 75°,
tan 75°
E
1
