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漸化式と数学的帰納法
(81)
B1
例題 B1.39 分数型の漸化式 (2)
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3a,+2
α=8, Q+1=
a,+2
によって定義される数列{a} がある.
a-B
(1) bm
とおくと. 数列 {b.) が等比数列になるような.α.
a-a
(α >β) の値を求めよ。
(2) 数列{a} の一般項 α を求めよ.
(1) (b.}が等比数列になるのは, bu+i=rb, (公比r)と表されるときである. そのために、
bath を考えて,これを漸化式を利用して am で表してみる。
(2) (1) で導いた {bm} を利用して一般項を求める。
(考え方)]
3a+2
「解答」
(1) byt=
an+1-B am+2
-B
3a+2-3 (a+2)
漸化式を用いるた
ata 3a+2
3am+2-α (an+2)
a
めに bm+1 を考える.
an+2
2-28
an+
(3-3)a,+2-28
3-8
3-β
(3-a)an+2-2a 3-a
2-2a
a₁+
3-a
したがって, 数列 {b.} が等比数列になるための条件は,
2-2a
2-28
-α=
3-α'
-β=
~ 部分が同じ形に
なれば、第一を
3-α
比として {b,} は等
数列になる.
3-8
である.
α. βは,-x(3-x)=2-2xの2つの解であり
x2-x-2=0 より x=2. -1
α=2,β=-1
3-β_3+1 =4 であるから
3-a 3-2
a+1_8+1_3
a>βより
(2) (1)より
また, b1=
つまり,
a+1 3
・4"-1
a-2 8-2 2
an-2 2
よって,
特性方程式 (p.B14
参照)
_3x+2
x+2
より.
x2+2x =3x+2
x=
bx+1=4bn
3
b
4"-1
(x-2)(x+1)=0
x=2, -1
と同じ解になる。
2(an+1)
=3.4" (a-2)
より,
6.4"+8
an=
3.4"-8
6.4"'+2
a=
3.4-2
6.4"+8
3.4"-8
α」=2, an+1=
習
39
**
(1) bm=
an+B
am+α
4a+1
によって定義される数列{an} がある.
2a+3
とおくと, 数列{bm} が等比数列になるような, α. β (a
の値を求めよ.
(2) 数列 {a} の一般項 am を求めよ.
➡p.B
