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36 2018年度 数字｣
第3問 やや絆 〈等差数列,等比数列,階差数列》
15-595
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(1) 等差数列{an}の初項をa (a1 = α), 公差をdとする。 第4項が30, 初項から第
8項までの和が288 であるから、 次の2式が成り立つ。
a=a+(4-1)d=a+3d=30
①
a+a2+..+αs = = x8x{2a+ (8-1) d}=4 (2a+7d) =288
8=1/x
第1式より 24 +6d=60, 第2式より 2a+7d=72)
d=12, a = -6
これら2式より
{an}の初項は-6 公差は 12 であり,初項から第n項までの和 Sm は
S. (20+ (-1) d)=(-12+12m-12) = 6 - 12 57
である。
HIST
(2) 等比数列{bn}の初項をb (b1 = b), 公比をr (r≠0) とする。 第2項が36 初
項から第3項までの和が156であるから,次の2式が成り立つ。
b₂=br=36
zb AMA
b+b2+by=b+by+br²=b(1+r+y^²)=156
190
第2式を第1式で辺々割ると
b(1+r+r) 156 +1+7=13-10-1-0
1
br
36 r
両辺に3をかけて
b(r"-1) 12 (3"-1)
r-1
3-1
である。
(3) 数列{cm} の定義は
=
3²-10y+3=0 (3r-1) (r-3) = 0
公比は1より大きいからr = 3, このとき6=12であるから,{bn}の初項は
12
公比は3であり,初項から第n項までの和T" は
T₁=
6 (3
1)は
Cn= (n − k + 1) (a − br)
2800
い
=(a-bì)+(n-1) (az-b2)+..+2 (an-1-bw-1)+(an-b)
(n=1, 2, 3, ...)
である。このとき{cm}の階差数列{d} は
1
dx=Cx+1 − cn= √((n + 1) − k + 1} (ax− bn) – 2 (n − k+ 1) (ax− b₂)
k-1
= ((n + 1) = (n + 1) + 1)(a-i-be) + 2 (1+1=k+1) (as¬ bi)
=Sn+1-T+1 ²+²
=(an+1-bm+1)+2{(n+1-k+1)-(n-k+1)}(ax-bi)
= (an+1 − bu+1) + 2 (an− bu) = 2 (an-b») = Σan- Zb₂
k=1
A-1
3
2018年度 : 数学ⅡI・B/本試験 (解答) 37
となるから,
したがって, (1)と(2)により
セに当てはまるものは⑤である。
d=6(n+1)^-12 (n+1)-6(3" - 1 )
= -18+
- Σ (n −k+1) (an-b₂)
=
{d-10)=6(n+1){(n+1)-2}-6×3**1+6
=6(n+1)(n-1)-2×3+2+6
=6n²-23+
である。C=α-b1=-6-12-18 であるからn=2のときの一般項は
C=C1+(C2-C1)+(C3-C2) + + (C-C-1)
=c₁+ (d₁+d₂+...+dn-1)
8 + Σ (6k² − 2·3*+²) = − 18 + 6Σ k² − 2£3*-²
k-1 4-1
3³(3-¹-1)
=-18+6×210 (n-1)(2x-1)-2× 3-1
= -18+2n²-3n²+ n-33×3″-1 +27 [1
2n³3n²+n+ 9 −3+2
である。 n=1のときの c = -18 はこの式に含まれる。
■解説
(1) 等差数列については、次の基本事項を知っていなければならない。
40
ポイント 等差数列の一般項と初項から第n項までの和
初項 α 公差d の等差数列{an}の一般項a,初項から第n項までの和 Sm
は
an= a + (n-1)d (a₁=a)
1
(n-1) d}
(2) 等比数列については、次の基本事項を知っていなければならない。
n = {_n (a₁ + a») = {\n {a+ a + (n − 1) d} = = n {2a + (n − 1
