246 空間の直線を回転してできる立体の体積 ○○○○
要 例題
|座標空間内の2点A(0, 1,0), B(1, 0, 2) を通る直線をl とし, 直線lをx
0000
軸の周りに1回転して得られる図形をMとする。アメ
x座標の値がt であるような直線l上の点Pの座標を求めよ。
(1) x
(2) 図形Mと2つの平面 x=0 と x=1 で囲まれた立体の体積を求めよ。
[類 北海道大] | 基本 237,238
CHART
OLUTION
POS
断面積をつかむ
回転体の体積
(1) 直線lと平面 x=t の交点の座標を求めるには、直線lのベクトル方程式を
利用する。 2点A(a),B(6) を通る直線のベクトル方程式は
p=a+s(ba) (sは実数) 内面平
utzer
(2) 図形Mを点Pを通りx軸に垂直な平面x=t で切ると,断面は点Pとx軸
の距離を半径とする円である。
...
解答
Caption
(1) 直線l上の点Cは,Oを原点, s
を実数として,OC=OA+sAB
と表され
OC = (0,1,0)+s(1, -1,2)
=(s, 1-s, 2s) の
よって,x座標がt である点Pの
座標は,s=t として
よって 求める体積Vは
Mera To
Uzzi, est
v=SS(t)dt =RS (51²-2t+
=T
e
044-855
5
=x[3t³−²+ i] = {/{ x
π
3
10
P(t, 1-t, 2t)
1 (2) 図形 M を平面 x=tで切ったときの断面は,
中心点 (t, 0, 0), 半径√(1-t)^2+ (2t) の円
である。ゆえに、その断面積をS(t) とすると
S(t) = z (5t2-2t+1)
B
P
ZA
-2t+1)dt
O
A
y
(1) 左では丁寧に示したが,
OA = (0,1,0)
|AB=(1,-1,2)
からOA+tAB のx成
分が t となることに着目
し、 最初から
OP=OA+tAB
としてもよい。
◆平面 x=tで切ったときの断面
ZA
√(1-t)+(2t)
H-
2t
P
1
(t,0,0) 1-t
ser
考える
y
線
