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基本 例題 24 数列の和と一般項, 部分数列
00000
+αzn-1 を求めよ。
|初項から第n項までの和 SnがSn=2n²-nとなる数列{a} について
(1) 一般項 an を求めよ。
(2) 和a1+a3+as+
(1)初項から第n項までの和S” と一般項αn の関係は
P.439 基本事項4 基本は
ORGONE
指針
an
よってan=S-S-1
n≧2のとき
Sn=a+a2+....+an-1+an
-)S-1=a+a2+......+an-1
Sn-Sn-1=
n=1のとき
a₁ =S₁
”を求める
(2)数列の和→
和 Sm がnの式で表された数列については,この公式を利用して一般項α)
まず一般項(第ん項)をんの式で表す
第1項 第2項 第3項,
.......
第k項
a1,
a3,
a2k-1
as, .,
であるから, an に n=2k-1 を代入して第ん項の式を求める。
なお、数列 sasasaのように、数列{a}からいくつかの項を取り
いてできる数列を, {an} の部分数列という。 00
(1) n≧2のとき
an=Sn-Sm-1=(2m²-n)-{2(n-1)-(n-1)})
815)
解答
=4n-3 ....・・ ①
また
a=Si=2・12-1=1_1
ここで, ① において n=1 とすると
α1=4・1-3=1
よって, n=1のときにも①は成り立つ。
したがって an=4n-3
(2)(1) より,a2k-1=4(2k-1)-3=8k-7であるから
n
a1+as+as+…………+azn-1=Ya2k-1=2(8k-7)
n d
k=1
解答
=22であるから
Sn-1-2(n-1)-(n-1
初項は特別扱い
anはn≧1で1つの式に
表される。
la2k-1 は αn=4n-3にお
いてnに2k-1 を代入。
検
検討
k=1
8.1m(n+1)-7n
(=n(4n-3)(
nan=S,-Sm-｣ となる場合
)n(I
k,1の公式を利用。
例題 (1) のように,an=Sn-Sn-1 でn=1とした値と αが一致するのは, S の式でn=0と
したとき So=0 すなわち nの多項式 S の定数項が 0 となる場合である。もし、
S=2n²-n+1(定数項が0でない) ならば, α=S=2, an=Sn-Sμ-1=4n-3 (22)とな
り4n-3でn=1とした値とαが一致しない。 このとき, 最後の答えは
「a=2, n=2のときa=4n-3」 と表す。(1
練習初項から第n項までの和Sが次のように表される数列{an}について 一般項
......
② 24
an
と和atas+a++α3n-2 をそれぞれ求めよ。
(1)Sn=3n²+5n
(2) Sn=3n²+4n+?
459 EXI
