定数 重要 例題 55 関数の作成 ①①①①①
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図のような1辺の長さが2の正三角形ABCがある。 点P
が頂点Aを出発し、 毎秒1の速さで左回りに辺上を1周す
るとき,線分 AP を1辺とする正方形の面積を、 出発後
の時間 x (秒) の関数として表し、そのグラフをかけ。
44x1
ただし, 点Pが点Aにあるときは y=0 とする。
B
CHART
SOLUTION
変域によって式が異なる関数の作成
(1) xの変域はどうなるか
0≤x≤6
(2) 面積の表し方が変わるときのxの値は何か x=2,4
-
点Pが辺BC上にあるときの AP2 の値は、 三平方の定理から求める。
解答
AP2 であり,条件から,xの変域は 0≤x≤6
[1] x=0,x=6のとき
点Pが点Aにあるから
y=0
点Pは辺AB上にあって
AP=x
[2] 0x2のとき
よって
y=x2
P
x-4
[3] 2<x≦4のとき 点Pは辺BC上にある。
1
B TP M
C
辺BCの中点をMとすると, BCIAM であり
よって, 2<x≦3のとき PM=1-(x-2)=3-x
x-2
3
◆結局 2<x≦4 のとき
3<x≦4 のとき PM=(x-2)-1=x-3
AM=√3
ここで
PM=|x-3|
ゆえに, AP? PM2+ AM2 から y=(x-3)2+3[1]
頂点(3,3), 軸 x=3
[4] 4<x<6 のとき
点Pは辺CA 上にあり, PC=x-4,
の放物線
--------
AP2= (AC-PC)2 から
{2-(x-4)}=(6-x)2
YA !
y=(x-6) 2
II
=(x-6)2
[1]~[4] から
4
頂点 (6,0), 軸x=6
の放物線
3
0≦x≦2のときy=x2
x=0, y=0 は y=x2 に,
1
1
1 I
2<x≦4のときy=(x-3)2+3
x=6, y=0 は y=(x-6)2
1 T
4<x≦6 のときy=(x-6) 2
234
に含められる。
グラフは右の図の実線部分である。
場合 に
作って
吟味
O
BM=1
6
x
0<x<2
2≤x≤4
C
3章
7
関数とグラフ
