103 最大･最小の応用問題 (1)
aを正の定数とする。 台形 ABCD が AD // BC,
基本
10 103
例題
|AB=AD=CD=α, BC >α を満たしているとき、台形の
[類 日本女子大 ]
ABCDの面積Sの最大値を求めよ。
・基本 98 重要 104 \
詳しく(各画)
∠ABC=∠DCB=0 とすると,
解答 0 <8<1で,右の図から
HC
文章題では,最大値･最小値を求めたい量を式で表すことがカギ。次の手順で進める。
① 変数を決め、その変域を定める。
指針
② 最大値を求める量 (ここでは面積 S) , ① で決めた変数の式で表す。
③② の関数の最大値を求める。 この問題では,最大値を求めるのに導関数を用いて
増減を調べる。
S=
この問題では,AB=DC の等脚台形であるから,∠ABC=∠DCB=0 として,面積 S
を9 (と定数α)で表すとよい。
-{a+(2a cos 0+a)}.asin0
=a² sin 0(cos 0+1)
ds
do
Ips
よって数
sta)
dS=0 とすると
do
cos0=-1,
0<θ<
<
π
π
0 = 3/
から
-α² をとる。
3点O(0, 0),
1
2
0
=a^{cose(cos0+1)+sin0(-sin 0)}
=a^{cos B(cos0+1)-(1-cos20)}
=a²(cos 0+1)(2 cos 0−1)
ds
do
S
B
0
...
・題材は平面上の図形 ①①
す。ただし,00とする。
:
+
KER
asin0円
HO
a-
a cose.
π
3
0
極大
3√3
T
π
00におけるS
の増減表は右上のようになるから, Sは0=173 で最大値
3√3
B
2
A
D
<BC> AB=AD = CD から
0<0<π
K<E
2
1/12/3× -×(上底+下底)×高さ
Sを0で微分。
別解頂点Aから辺BCに
垂線AHを下ろして、
BH = x とすると
|S={a+(2x+a)}
x√√a²-x²
=(x+a)√a^²-x2
これをxの関数と考え,
0<x<a の範囲で増減を調べ
る。
4
章
4 関数の値の変化、最大・最小
A ( 12, 0), P(cos, sing)と点Qが,条件 OQ=AQ=PQ を満た
[類 北海道大]
