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四面体 ABCD は, 4つの面のどれも3辺の長さが7, 8, 9の三角彩である。
「等面四面体は、直方体から切り出す」 ということが重要ポイントである。
よって, x, y, zは, 図のような, 隣り合う面の対角線がBC(=a)., CA(=8
注)等面四面体は,高校での学習内容にはないが, 受験数学では頻出の題材である。
この直方体の8つの頂点のうち互いに隣り合わない4っの頂点を結んででき
すべての面が合同な鋭角三角形からなる四面体(等面四面体)は
四面体(等面四面体)は, 各面すべてが △ABC と合同な鋭角三角形であるから。
AABCは鋭角三角形とする。このとき,各面すべてが△ABCと合同
な四面体が存在することを示せ。
例題319 等面四面体
(京都大)
面四面体の一種である.等面四面体の特徴は,
0 四面体 ABCD のすべての面が合同である。
2 AB=CD, AC=BD, AD=BC である(四面体の対辺の長さが
それぞれ等しい)。
③直方体の8つの頂点のうち互いに隣り合わない4つの頂点を結
んでできた四面体(各面は合同な鋭角三角形)である. (これが
重要なポイント)
④四面体の4つの面の面積がすべて等しい (等積四面体とも呼ばれる理由)。
この京都大の問題は, ①の特徴を与え, ③の特徴により,それは等面四面体であること
を論述させることがねらいである。
考え方 4つの面が合同な四面体のことを等面四面体または等積四面体という。正四面体は条
A
B
BC=a, CA=b, AB=c とする。
△ABC は鋭角三角形より,
°+a-8>0, a+6-c>0, 6°+c-α>0
よって,
+d-8)-x 0
解答
余弦定理より。
6=c°+a°-2cacosB
c°+a-8=2cacosB>0
(AABCは鋭角三角形よ
り, cos B>0)
a+6°-c>0,
6+c-a>0 も同様
B
ic
が
ケ]
本
A
+ゲーc)-y…2
C
となる正の数x, y, zが存在し,
の+2より,
2+3 より,
3+0より、
x*+y°=a°
y+zーが
+x°=c°
ゆ
より,
AB(=c)である直方体の各辺の長さとなる。
(iv)
する。
m
原(x)
m
したがづ
Focus
十面体の5
は
〈正四面体)
練習
319 の四面体 ABCD の体積を求めよ。
(早稲田大)
6
よこゅこり0回m付
