基本例題 27 不等式の証明(差を作る)
85①①①①①
次の不等式を証明せよ。 また, (3) の等号が成り立つのはどのようなときか。
(1) a1, 6/12/2 のとき 2ab+1 > a +26
(2) x² >4x-7
CHARTO SOLUTION
大小比較 差を作る A> B⇔A-B0......
(左辺) (右辺)の式を
(3) α2+3623ab
解答
(1) (2ab+1)-(a+2b)=2ab+1-a-2b
(1) 因数分解。 (2) (実数) 正の数に変形。 (3) (実数)+(実数) 2 に変形。
注意
一般に, 不等式 A≧B の証明においては,問題で要求していない限り,
必ずしも等号が成り立つ場合について書く必要はない。
=(x2-4x+4)-4+7
=(x-2)²+3>0
- (2b ta)
=(26−1)a-(26-1)=
=(a-1)(26-1)
ここで,a1.b>1/12 から a-1>0,26-1>0
よって (a-1)(26-1)>0 ゆえに 2ab + 1 > a +26
(2) x²-(4x-7)=x²-4x+7
よって
x2>4x-7
Z(3) (a²+36²)-3ab=a²-3ab + ( 226 ) ² − ( 2126) ²³-
- + 36 ²
3
=(0-20)² + ²0² 20
lp.38 基本事項②
よって
a²+362≧3ab
3
等号が成り立つのは,α-- -6=0 かつ b = 0, すなわち
2
a=b=0 のときである。
■差を作る。
α について整理して共
通因数でくくる。
=(2b-1) a-b-11
22B-1) (a~1)
=10 do VAS BU
+
◆xについて平方完成する。
=(x-2)2≧0,3>0
1
+(a-3-6)² ≥0, 36²20
(実数)2 + (実数) 2≧0
を利用。
