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基本例題 52 2次方程式の解の存在範囲
①①①
2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数の
値の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに1より大きい。
(2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。
/p.87 基本事項 2
89
指針
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
2章
解と係数の関係、解の存在範囲
(1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1> 0
(2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3と β-3が異符号
以上のように考えると, 例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。これについては、 解答副文の別解 参照。
2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし, 判別解 2次関数
解答 別式をDとする。
4
=(− p)² - (p+2)= p²-p−2=(p+1)(p−2)
解と係数の関係から a+β=2p, aβ=p+2
(1) α>1,β>1であるための条件は
D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0
D≧0から
よって
(p+1)(p-2)≥0
p≤ -1, 2≤p
......
①
(α-1)+(β-1) > 0 すなわち α+β-20 から
2p-2>0
よって>1
......
2
(α-1) (B-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1 >0から
で p+2-2p+1>0
よって
<3
③
求めるかの値の範囲は,①,②,
③の共通範囲をとって
f(x)=x2-2px+p+2
のグラフを利用する。
(1) 12/27=(p+1) (p-20
軸について x=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2≦p<3
YA
3-1
x=py=f(x)
+ α P
B x
0 1
2
-①-
(2)(3)11-5p<0から
123
P
p>.
11
5
<題意から α =βはあり
えない。
2≦b<3
(2) α <β とすると, α<3 <βであるための条件は
(α-3) (B-3) < 0
すなわち
αβ-3 (a+β)+9<0
ゆえに
p+2-3・2p+9 < 0
よって p>
5
練習 2次方程式 x 2-2(α-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように定数αの値
52 の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに2より大きい。
(2)2つの解がともに2より小さい。
(3)1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。
p.91 EX 34
