[重要] 例題02 連立不等式が整数解をもつ条件
xについての不等式 x2- (a+1)x+α <0,3x²+2x-1>0 を同時に満たす
0000
整数xがちょうど3つ存在するような定数αの値の範囲を求めよ。 〔摂南大]
|基本 31,91 重要 100
TI
CHART OLUTION
54467
連立不等式 数直線を利用
解答
不等式の左辺は,両者とも因数分解できる。
前者では文字 αを係数に含むから,重要例題 100 と同様, a の値によって場合を
分けて解を求める。
解の共通範囲に含まれる整数値の考察には 数直線 の利用が有効である。……①
x²-(a+1)x+a<0 *5 (x-a)(x-1)<0
よって
a<1のとき a <x<1
a=1のとき
1 <a のとき
3x2+2x-1>0 から
10c
1
3
(x+1)(3x-1)>0
(x-1)2 <0 から 解なし
1<x<a
5≦a-4
<-1
8\±1=2 3 > 1
1
よって
x<-1, <x ...... ②
02
① ② を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するのは
a <1 または a>1 のときである。 取る
[1] α < 1 のとき
右の図から, a <x<-1 の範囲
の整数が -2,-3, -4 であれ
ばよい。
(94(1)
よって
[2] α>1 のとき
右の図から、1<x<a の範囲の ②
整数が 2 3 4 であればよい。
よって
4<a≦5
以上から
-5≤a<-4, 4<a5
-51-4-3-2-1 0 1
①
x
10
3
-10 1 2 3 4
1
3
$300A 0S'AJUCAROSE
a
X
x
-a→-a
- 1 → -1
a -(a+1)
(x-1)2は常に0以上
KOE
155
◆1/23 <x<1には整数は含
おまれない。
◆α=-5 のとき, ① は
-5<x<1となり
x=-5 が含まれず条件
を満たす。
a=-4 のとき, ① は
-4<x<1となり
x=-4 が含まれず条件
を満たさない。
(p.55 ズーム UP 参照。)