練習 曲線(x2+y2)=4xy2の極方程式を求めよ。また,この曲線の概形をかけ。ただし,原点Oを
179 極軸の正の部分を始線とする。
x=rcost, y=rsin0, x2+y2=r2を方程式に代入すると
>よって
ゆえに
よって
(m2)3=4(rcosθ)2 (rsinθ)2
r-r*sin220=0
ra(r+sin20)(r-sin20)=0
r=0 または r=sin 20 またはr=-sin20
ここで,r=-sin20から -r=sin{2(0+π)}
←2sincos0=sin 20
X3
188
←0=0のとき
sin20=0
点(r, 0) と点(-r, 0+z) は同じ点を表すから,r=sin 20 と
r=-sin20は同値である。
_r
また, 曲線 r=sin 20 は極を通る。
したがって, 求める極方程式は
r=sin20
次に,f(x,y)=(x2+y2)-4x2y2 とすると,曲線の方程式は
120) f(x, y)=0 ①
*****
①
f(x, -y)=f(-x, y) =f(-x, -y)=f(x, y) であるから,
曲線 ①はx軸, y 軸, 原点に関してそれぞれ対称である。
r≧0,0≦≦として、いくつかの0の値とそれに対応する♪
の値を求めると,次のようになる。
bf=
←(-x)2=x2,
(-y)²=y²
π
0 0
r
0
|21|2
兀
br=d
←y=sin 20 のグラフは
直線 0=7 に関して対
1822
π
π
6
√2 √3
1
1339
|4
兀
√√3
384
√2
2
2 2
5221-2
―π
π
2
0
y
(1.0)
2
π
これをもとにして, 第1象限にお
ける ① の曲線をかき, それとx
軸, y 軸, 原点に関して対称な曲
線もかき加えると. 曲線の概形は
右図のようになる。
称でもある。
(0) αを有理数とする
←図中の座標は,極座標
であるTA
検討
(1, 0)x
とき,極方程式
22
(0)
(2/20)
12
rina で表される曲
線を正葉曲線 (バラ曲
線)という。
