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③の左辺は、
(x-y-z
々を加えて まず、結論を式で表すことを考えると,次のようになる。
(1)a,b,cのうち少なくとも1つは1である
⇔a=1 または b=1 またはc=1
式が得られる
循環形の
り、引いた
しやすくなる
■3:2 解答
3²+2¹+4
算することも
=0⇒al
60m
例題25
29214
b,c は実数とする。
abc=1,a+b+c=ab+bc+caのとき, a,b,cのうち少なくとも1つは1
であることを証明せよ。
LOR$HOV.x.J
a+b+c=ab+bc+ca=3のとき,a,b,cはすべて1であることを証明せよ。
(1) 20
CHART 証明の問題 結論からお迎えに行く
-2+24+HP=(a-1)(b-1)(c-1) とすると
可能性がある
a+b+c
のとき、
all
少なくとも~, すべての〜の証明
⇔a-1=0 または 6-1=0 または c-1=0
⇔ (a-1)(b-1)(c-1)=0
(2) a,b,cはすべて1である⇔a=1 かつ6=1 かつc=1,2
⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつc-1=0
⇔(a-1)+(6-1)'+(c-1)=0
よって, 条件式から,これらの式を導くことを考える。 このように, 結論から方針を立て
ることは、証明に限らず、多くの場面で有効な考え方である。
P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると
P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0
よって α-1=0 または 6-1 = 0 または c-1=0
したがって, a,b,cのうち少なくとも1つは1である。
Q=(a-1)+(b-1)'+(c-1)' とすると
Q=a²+62+c²-2(a+b+c)+3
ここで,(a+b+c)=a+b2+c2+2(ab+bc+ca) であるから
a2+62+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=32-2・3=3
ゆえに
Q=3-2・3+3=0
よって
α-1=0 かつ 6-1 = 0 かつ c-1=0
したがって, a, b c はすべて1である。
練習 a,b,c, d は実数とする。
25
1 1
(1) + +
a b
ことを証明せよ。
C
=
a+b+c
fb H f d H f d )
2
RESID
tsutux
ABC = 0
⇔A = 0 または B = 0
または C=0
+d+o (1) Vio
A²+B2+ C²=0
⇒ A=B=C=0
CASAS) SI TATH
Fan+ 2) - (1) Eln
のとき, a,b,cのうち、どれか2つの和は0である
==c=d=1であることを証明
1章
5 等式の証明
